§ 3. Изгибные колебания стержней

Теория изгибных колебаний стержней труднее теории двух уже рассмотренных типов колебаний, так как возникающие упругие деформации более сложны, и даже элементарная теория показывает, что скорость изгибных волн зависит от длины волны. Изложение точного

решения задачи можно найти у Тимошенко [143], Прескотта [114], Хадсона [61], Купера [22] и Девиса [25]. Вследствие дисперсии, связанной с этим типом волнового движения, распространение импульсов изгибных волн мало привлекало внимание экспериментаторов, а теория использовалась главным образом для определения периода свободных поперечных колебаний стержней. Резонансная частота колеблющейся консоли дает точный метод измерения динамического модуля продольной упругости материала и используется для изучения упругих свойств твердых тел (см., например, Девис и Джемс [27], Грим и Итон [44] и Ноли [100]).

В простейшей теории изгибных колебаний стержня произвольного, но постоянного поперечного сечения предполагается, что движение каждого элемента стержня представляет собой чистый перенос его в направлении, перпендикулярном оси стержня.

Фиг. 13. Силы и моменты, действующие на элемент стержня при изгибных колебаниях.

На фиг. 13 показаны силы, действующие на очень малый элемент стержня длины который изгибается в плоскости Изгибающий момент изменяется вдоль стержня и в точке принят равным тогда его значение в точке равно

Изгибающий момент должен уравновешиваться перерезывающими силами, действующими параллельно оси z. Перерезывающая сила в сечении принята равной а в сечении она равна

Уравнение движения элемента в направлении оси z имеет вид

или

где плотность стержня, А — площадь поперечного сечения и перемещение в направлении z.

Для решения уравнения (3.19) надо выразить через и упругие постоянные материала. Вычисляя моменты относительно оси, проходящей через центр элемента в направлении у, получим

и в пределе, когда становится бесконечно малым,

Чтобы получить связь между представим себе элемент стержня как бы состоящим из совокупности параллельных волокон. Выше нейтральной поверхности они растянуты, а ниже ее — сжаты. Найдено, что если радиус кривизны нейтральной поверхности равен а момент инерции поперечного сечения относительно диаметра, лежащего в нейтральной поверхности, равен то

Для малых деформаций можно принять равным так что из (3.21) получаем

После подстановки (3.23) в (3.19) находим

Это может быть записано так:

где - радиус инерции поперечного сечения относительно оси, лежащей в нейтральной поверхности и перпендикулярной оси стержня. Для цилиндрического стержня радиуса Уравнение (3.24) представляет собой волновое уравнение для изгибных колебаний, причем непосредственной подстановкой можно убедиться,

что решение в форме или вообще говоря, не удовлетворяет этому уравнению. Значит, изгибное возмущение произвольной формы не может распространяться вдоль стержня без дисперсии.

Пусть вдоль стержня со скоростью с распространяются синусоидальные изгибные волны, тогда

где амплитуда, длина волны. Дифференцируя (3.25) и подставляя в (3.24), получим

или

Следовательно, с обратно пропорционально длине волны, и если длина волны бесконечно мала, то скорость, с которой она распространяется, бесконечно большая. Величина с называется скоростью волны или фазовой скоростью. Чтобы определить скорость, с которой распространяется энергия импульса изгибных колебаний, надо найти групповую скорость с. Она определяется как скорость, с которой распространяется пакет волн, в котором длины составляющих волн ограничены значением и с связаны зависимостью

(см., например, Стефенс и Бете [135]). Отсюда и из (3.26) имеем

Таким образом, групповая скорость изгибных волн равна удвоенной фазовой скорости и, следовательно, становится бесконечной для импульса, состоящего из бесконечно коротких волн. Вывод, что изгибный импульс переносится с бесконечной скоростью, физически противоестественен и в действительности формулы (3.26) и (3.28) применимы только к волнам, для которых велико по сравнению с К (радиусом инерции стержня).

Причины, по которым приведенные выше рассуждения не применимы, когда длина волны сравнима с поперечными размерами стержня, состоят в следующем:

(I) предположение, что движение представляет собой чистый перенос в направлении z, неправильно для коротких длин волн, так как в этом случае необходимо также учесть вращательное движение сечений стержня;

(II) предположение, что продольные сечения элементов стержня остаются прямоугольной формы во время движения, также неправильно для колебаний, длина волны которых сравнима с толщиной стержня.

Чтобы сделать поправку на в уравнение (3.20) надо добавить член, учитывающий инерцию вращения элемента. Значит, при рассмотрении моментов мы должны приравнять результирующую пару произведению момента инерции элемента на его угловое ускорение. Уравнение (3.20) приводится тогда к виду

где - момент инерции поперечного сечения относительно оси, угол поворота сечения. Для малых деформаций а равно так что (3.29) переходит в

и

Подставляя из (3.19) и из (3.22) (в последнем предварительно положено получим

или

Это уравнение аналогично уравнению (3.24), но имеет добавочный член, учитывающий инерцию вращения, и если в качестве решения взять (3.25), получим

после чего из (3.27) найдем

При малом значении уравнения (3.32) и (3.33) дают те же результаты, что и (3.26) и (3.28), но когда велико, с и с стремятся к Таким образом, окончательное уравнение (3.31) физически более удовлетворительно, поскольку оно не приводит к бесконечному значению для групповой скорости. Поправка на инерцию вращения была предложена Релеем [120]. Однако, как показал Тимошенко [143], поправка на сдвиг элемента так же важна, как и поправка на инерцию вращения. Дело в том, что перерезывающая сила показанная

на фиг. 13, искажает каждый элемент, и в результате этого наклон оси стержня в деформированном состоянии представляет сумму углов поворота элемента и угла его сдвига. Если это учесть, то уравнение (3.31) принимает вид

Последнее уравнение отличается от (3.31) двумя добавочными членами, содержащими безразмерную величину равную где постоянная, зависящая от формы поперечного сечения стержня, и пуассоново отношение материала. Для стержня круглого сечения Прескотт [114] вывел (3.34) методом, отличным от использованного Тимошенко. В следующем параграфе будет показано (см. фиг. 16 и 17), что численные значения для скорости, полученные из этого уравнения для цилиндрического стержня, очень близки к значениям, полученным Хадсоном [61], вычислявшим эти скорости, исходя из общих уравнений упругости.