§ 5. Волны Релея

В неограниченном изотропном теле могут распространяться два и только два типа упругих волн. Однако, когда имеется граничная поверхность, могут возникать также поверхностные упругие волны. Эти волны, подобные гравитационным волнам в жидкостях, были впервые исследованы в 1887 г. Релеем [119], который показал, что их действие быстро затухает с глубиной и что скорость их распространения меньше скорости волн внутри тела.

Рассмотрим распространение плоской волны внутри упругой среды с плоской границей и попытаемся найти решение уравнений движения (2.8), (2.9) и (2.10), соответствующее возмущению, область

действия которого ограничена, по существу, окрестностью границы и которое удовлетворяет условию, что граница свободна от напряжений. Примем для простоты границу за плоскость а ось z направим внутрь среды. Пусть плоская волна распространяется в направлении х. Перемещения в этом случае не будут зависеть от у, поэтому можно определить две потенциальные функции и так, что

Из (2.21) получаем для объемного расширения

тогда как для вращения в плоскости имеем

(Эти уравнения показывают, что функция связана с объемным расширением, производимым возмущением, а связана с вращением; введение двух потенциальных функций дает возможность разделить действия объемного расширения и вращения в среде.)

Подставляя (2.21) в (2.8) и (2.10), получим соответственно

Написанные уравнения будут удовлетворяться, если удовлетворяются уравнения

Если мы теперь рассмотрим синусоидальную волну частоты распространяющуюся со скоростью с в направлении х, с длиной волны так что то решения уравнений (2.22) и (2.23) можно искать в форме

где функции, определяющие характер изменения амплитуды волн по z. Подставляя выражение для со из (2.24) в уравнение (2.22), получим

где

Это уравнение можно переписать так:

где

Общее решение уравнения (2.26) есть

где

Второй член в (2.27) соответствует возмущению, возрастающему с увеличением z, и для рассматриваемого здесь типа волн коэффициент А должен быть равен нулю.

Аналогично, если подставить в уравнение (2.23) выражение для из (2.25), получим уравнение

где решение которого, соответствующее существу задачи, есть

здесь

Значит решения (2.24) и (2.25) принимают вид

Условие задачи требует, чтобы компоненты напряжения обращались в нуль на поверхности В силу (2.21) величина

выражается через

При подстановке из (2.31) это дает при

Далее,

и из (2.21) имеем

При подстановке значений со и из (2.31) получаем при

Исключая отношение из (2.32) и (2.33), находим

Возводя обе части (2.34) в квадрат и подставляя значения из (2.28) и (2.30), имеем

Деление обеих частей этого уравнения на дает

Так как

то Из уравнения (2.5) находим

так что

При подстановке значений для и для уравнение (2.35) преобразуется в следующее:

Производя в (2.36) умножение и обозначая отношение через получаем

Это — кубическое относительно уравнение, причем зависит только от величины и если значение для среды известно, уравнение может быть решено численно. Далее, - скорость поверхностных волн и скорость волн искажения; значит, есть отношение скорости поверхностных волн к скорости волн искажения, причем последняя зависит только от упругих постоянных материала. Отсюда следует, что скорость распространения поверхностных волн не зависит от частоты и зависит только от упругих постоянных материала. Значит, дисперсии этих волн нет, и плоская волна распространяется без искажения формы.

Скорость затухания волн с глубиной z зависит от значений факторов затухания Уравнения (2.28) и (2.30) дают

Следовательно, по значению можно определить значения Далее, из уравнений (2.21) и (2.31) имеем

Подставляя В из (2.33) и беря действительные части в выражениях (2.39), получаем

Если взять, например, и уравнение (2.37) примет вид

или

откуда следует, что

Из (2.38) видно, что первые два из этих значений дают мнимые значения для следовательно, не соответствуют разыскиваемому типу волн. Пригодно будет только третье значение и, значит, при скорость распространения поверхностных волн составляет 0,9194 от скорости волн искажения. Далее, из (2.38) находим Из (2.40) видно, что скорость, с которой амплитуда перемещения в направлении распространения затухает с глубиной, зависит от множителя

При подстановке численных значений этот множитель будет равен

Он быстро убывает с возрастанием и обращается в нуль при Для этого значения перемещение при всех значениях следовательно, на глубине имеется плоскость, в которой нет движения, параллельного поверхности. По определению, равно поделенному на длину волны, так что это имеет место на глубине 0,193 от длины волны. Для ббльших глубин амплитуда опять становится отличной от нуля, но имеет противоположный знак, так что колебания происходят в противоположной фазе.

Скорость убывания с глубиной амплитуды движения в направлении, перпендикулярном поверхности, как видно из выражения (2.40) для

зависит от множителя

Подстановка сюда численных значений дает

Этот множитель не меняет знака, так что нет конечной глубины, на которой движение в нормальном к поверхности направлении прекращается. При возрастании z амплитуда колебаний вначале возрастает, достигает максимума на глубине 0,076 от длины волны и затем монотонно убывает. На глубине одной длины волны и амплитуда уменьшается до 0,19 от ее значения на поверхности.

Можно видеть, что есть определяющий параметр затухания с глубиной для колебаний как параллельных поверхности, так и перпендикулярных к ней. Так как есть скорость распространения поверхностных волн, постоянная для любого данного материала, и частота колебаний, то пропорционально частоте. Следовательно, волны Релея высокой частоты будут затухать с глубиной быстрее, чем волны низкой частоты; это поведение аналогично скин-эффекту в распространении высокочастотных переменных электрических токов в проводниках.

Выражения (2.40) для и показывают, что траекторией каждой частицы среды является эллипс, большая ось которого перпендикулярна к поверхности. Для частиц на поверхности (где отношение большой оси эллипса к малой равно 1,468.

Все числовые расчеты были проведены в предположении, что Однако подобные результаты получаются и при использовании других значений Если, например, принять предельное значение то уравнение (2.37) переходит в

и имеет единственный действительный корень В этом случае поверхностные волны распространяются со скоростью, которая составляет 0,9554 от скорости волн искажения; подстановка в (2.40) показывает, что движение, параллельное поверхности, прекращается в этом случае на глубине 0,138 от длины волны.

Для стали скорость волн Релея получается равной 0,9258 от скорости волн искажения в материале. Автор признателен . Девису за фиг. 4, на которой приведены расчетные значения амплитуд компонент напряжения и перемещений для этого значения пуассонова отношения. Кривые даны в безразмерной форме, пики значений перемещений нанесены как отношения где амплитуда колебаний в направлении z на поверхности. Пиковые значения напряжений нанесены как отношения

и где амплитуда на поверхности. Все эти величины даны в функции от где А — длина волны колебаний, равная Кривые иллюстрируют, как амплитуда колебания в направлении х проходит через нуль, тогда как амплитуда в направлении вначале слегка возрастает, а затем монотонно убывает. Они показывают также, что компонента меняет знак, тогда как компонента достигает максимума приблизительно при и затем асимптотически убывает с глубиной.

Фиг. 4. Амплитуды напряжений и перемещений, связанных с поверхностными волнами Релея в стали

Релей высказал мысль, что так как эти поверхностные волны расходятся только в двух измерениях и, следовательно, затухают с расстоянием медленнее объемных упругих волн, то можно ожидать, что они играют важную роль в сейсмических явлениях. Действительно, это в значительной мере подтверждается сейсмографическими записями волн, наблюдаемых на некотором удалении от эпицентра землетрясения. Записи обнаруживают три отдельные группы волн. Первыми прибывают волны, в которых колебания преимущественно продольные; это волны расширения, имеющие наибольшую скорость распространения. Позже приходят волны искажения, в которых движение главным образом поперечное, и, наконец, поверхностные волны, амплитуда которых велика по сравнению с амплитудой двух других типов волн. Если эта последняя группа состоит только из волн Релея, в ней должны содержаться как

вертикальная, так и горизонтальная компоненты с преобладанием первой. Практически найдено, что это не так: вертикальная компонента иногда полностью отсутствует. Для волн Релея направление колебаний горизонтальной компоненты должно быть параллельно направлению распространения, тогда как часто обнаруживаются горизонтальные компоненты, параллельные фронту волны. Ляв [87] высказал мысль, что эти волны могут быть объяснены, если предположить, что упругость и плотность внешних слоев земли отличаются от их значений внутри. Он показал, что поперечные волны могут распространяться по такому внешнему слою без проникновения в глубину. Волны такого типа стали называться волнами Лява.

Стоунли ]137] рассмотрел более общую задачу распространения волн на поверхности раздела двух твердых сред. Он показал, что в средах должны распространяться волны, аналогичные волнам Релея, причем амплитуды в них должны достигать максимума на поверхности раздела. Стоунли исследовал также обобщенный тип волны Лява, которая распространяется вдоль внутреннего пласта, ограниченного с обеих сторон толстыми слоями материала, отличающегося по своим упругим свойствам.