§ 3. Криволинейные ортогональные координаты

Хотя декартовы координаты удобны для многих задач теории упругости, часто необходимо бывает преобразовать уравнения к другой координатной системе, так как в декартовых координатах выражения оказываются громоздкими. Например, в главе III при рассмотрении распространения упругих волн вдоль цилиндрических стержней были использованы цилиндрические координаты.

Если координаты точки в некоторой системе координат, — ее декартовы координаты, то являются функциями от так что причем

и аналогичные выражения можно записать для

Элемент длины определяется соотношением и из имеем

где

Если рассмотреть длину которая соответствует изменению от до при постоянных и то Аналогично для удобства величины будем записывать соответственно в виде Если система координат ортогональна, т. е. если поверхности пересекаются друг с другом под прямыми углами, то элемент объема равен

Рассмотрим векторную функцию с составляющими по направлениям осей такой системы ортогональных криволинейных координат. Пусть и с — единичные векторы вдоль этих направлений, так что

Любые векторные функциональные операции над этим вектором можно выразить через его Составляющие и коэффициенты Например,

Наконец, для градиента скалярной функции V имеем

Чтобы записать и в некоторой конкретной системе координат, иадо найти значения для этой системы. Так, для цилиндрической системы координат имеем откуда Тогда, например, если вектор перемещения с компонентами по направлениям соответственно, то объемное расширение по имеет выражение

Это совпадает с уравнением (3.38) гл. III. Аналогично из можно получить три составляющие совпадающие с выражениями (3.39) для

Определяя таким образом все векторные функции, входящие в уравнение движения изотропного упругого тела придем к уравнениям Похгаммера (3.35), (3.36) и (3.37), использованным в гл. III для изучения распространения упругих волн вдоль цилиндрических стержней. Подобным путем можно получить уравнения в сферических координатах в этом случае

(см. скан)

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)