§ 2. Пластические волны в эйлеровых координатах

В приведенном выше подходе к задаче уравнения были выведены для малого отрезка проволоки, который движется в пространстве и изменяет свою длину и площадь поперечного сечения, когда проволока растягивается. При подходе к задаче по методу Эйлера, как это делал Тейлор, рассматривается фиксированная область пространства, а уравнения движения и неразрывности получаются для проволоки, проходящей через эту область.

Примем за координату х расстояние от начального положения конца проволоки возрастает вдоль проволоки). Уравнение движения для области, заключенной между можно получить, приравнивая разность сил, действующих на концы элемента проволоки, находящегося в момент в этой области, произведению массы этого элемента на его ускорение. Пусть условное напряжение в сечении х, как и в предыдущем параграфе, равно а, тогда в сечении оно равно

Если первоначальная площадь поперечного сечения равна то результирующая сила, действующая на элемент будет Масса элемента равна где плотность материала проволоки до деформации и деформация. Если скорость элемента в момент есть V, то центр его за время пройдет расстояние и его скорость в момент будет

Следовательно, ускорение равно По второму закону движения Ньютона получаем

или

Если масса единицы длины проволоки в некоторый момент времени равна то

Скорость изменения во времени этой линейной плотности можно приравнять разности массы входящей и массы, покидающей элемент пространства. Это дает соотношение

Подставляя сюда значение из (7.13), окончательно получаем уравнение неразрывности для проволоки

Уравнения (7.12) и (7.15) подобны уравнениям распространения плоской волны конечной амплитуды в сжимаемой жидкости (задача была рассмотрена Ирншоу и Риманом). Следуя методу решения Ирншоу, предположим, что V является функцией только деформации, так что

Тогда вместо (7.12) будем иметь

а уравнение (7.15) даст

Подставляя значение из уравнения (7.18) в уравнение (7.17), получаем

Чтобы найти скорость надо проинтегрировать соотношение (7.19), и если сделать это начиная с конца проволоки, который находится в покое и где то получим

Это совпадает с выражением для скорости конца проволоки, найденным по методу Лагранжа и определяемым уравнением (7.11), так как

Подставляя значение из (7.19) в уравнение (7.18), имеем

или, обозначая через с выражение получаем

Значит, для точек проволоки, которые движутся в пространстве со скоростью деформация следовательно, напряжение а постоянны. Надо заметить, что, так как х растет вдоль проволоки, V отрицательно при растяжении.

Для большинства твердых тел, как упоминалось в предыдущем параграфе, постоянно для напряжений ниже предела упругости и убывает выше этого предела. Поэтому большие деформации распространяются со скоростью, меньшей скорости упругих волн, и распределение деформации будет подобным тому, которое показано на фиг. 38. Однако когда возрастает с ростом в, большие деформации распространяются быстрее малых и любой большой импульс, распространяясь в среде, образует крутой фронт, градиент в котором чрезвычайно ограничен диссипативными силами типа вязкости и теплопроводности. Значимость этих диссипативных сил возрастает, когда перепад давлений на фронте импульса становится круче. Образование ударных волн будет рассмотрено ниже.