§ 4. Построение динамической кривой напряжение — деформация

В трех методах измерения динамических упругих свойств твердых тел, которые были рассмотрены, — свободные колебания, вынужденные колебания и распространение волн — упругие постоянные и внутреннее трение не могли бы быть выведены из измерений, если бы не были сделаны некоторые предположения о природе диссипативных сил и о линейности системы. Эти предположения заключались в том, что диссипативная сила пропорциональна скорости изменения деформации и что тип механического поведения не зависит от амплитуды деформации в области напряжений, использованных в опытах. Предполагая, что имеет место принцип суперпозиции Больцмана, можно было бы построить функцию памяти из серии экспериментов, проведенных во всей области частот, и отсюда сделать теоретический вывод о механическом поведении твердого тела, подверженного негармоническому воздействию напряжений.

Тем не менее часто оказывается предпочтительным провести прямые измерения напряжений и деформаций образца в деформированном состоянии, так как тогда можно судить о механическом поведении при данном цикле напряжений, не делая каких-либо априорных предположений о поведении твердого тела. Этим методом определяется не только количество энергии, потерянное в течение цикла напряжений, но и форма петли гистерезиса. Однако при высоких скоростях нагружения экспериментальное определение кривой напряжение — деформация связано с очень существенными трудностями, а именно с инерционными эффектами в измерительной аппаратуре и с техникой записи распространяющихся напряжений и деформаций.

При возрастании скорости нагружения ускорение движущихся частей аппаратуры для измерения деформации начинает требовать усилий, сравнимых с усилиями, необходимыми для деформирования Образца, Часто оказывается даже невозможным отличить эти

инерционные эффекты от эффектов, вызываемых механическим поведением исследуемого образца. Кроме того, когда скорости нагружения очень велики, инерция самого образца вызывает неоднородное распределение по его длине, что приводит к распространению волн вдоль образца с последовательными отражениями их от его концов. При таких высоких скоростях нагружения применение обычных механических приборов для измерения напряжений становится невозможным, так как их собственный период колебаний слишком велик, чтобы они могли давать надежные показания, когда сила изменяется быстро.

Трудности, связанные с такими измерениями, и некоторые методы, которые использовались для их преодоления, рассмотрены Тейлором [139]. В гл. VIII будут рассмотрены работы по динамическим испытаниям твердых тел, связанные с измерением предела текучести и предела прочности в случае растяжения при высоких скоростях нагружения. Здесь мы опишем методы построения кривых напряжения— деформации при высоких скоростях нагружения, которые были развиты Тейлором [139], Э. Вольтерра [149] и автором

Тейлор и Э. Вольтерра пользовались фотографической записью напряжений и деформаций в образцах, имеющих форму коротких цилиндров. Образцы помещались на плоском конце цилиндрического стержня, который подвешивался как баллистический маятник. Второй стержень свободно подвешивался соосно с первым и раскачивался, так что при ударе образец сжимался между плоскими торцами стержней. Зависимость деформации от времени выводилась непосредственно из фотографической записи; зависимость напряжение — время находилась из движения стального стержня, которое происходит с ускорением, получаемым от напряжений, возникающих в образце. Таким образом, построение кривой напряжение — время связано с двукратным дифференцированием кривой перемещение — время, что выполнимо благодаря высокой точности измерений по фотографическим записям. Этим методом были исследованы образцы из резины и других высоких полимеров при продолжительности цикла напряжений от 5 до 17 мсек., причем были получены кривые напряжение— деформация. Для анализа результатов предполагалось, что материалы подчиняются принципу суперпозиции Больцмана, и зависимость между напряжением о и деформаций принималась в форме

Можно видеть, что эта зависимость имеет форму, несколько отличную от выражения (5.38). Уравнение (6.14) выводится из рассмотрения малых изменений деформации, которые имели место в предшествующей истории образца, и из суммирования связанных с ними остаточных элементарных напряжений. Так, есть напряжение, остающееся в момент времени от изменения деформации

которое имело место в момент Гросс [45] сравнил различные формы принципа суперпозиции и показал, что все они эквивалентны и что спектр времен релаксации может быть выведен из любой формы функции памяти.

Тейлор и Вольтерра с помощью уравнения (6.14) истолковали результаты опытов с баллистическим маятником над политаном и воскообразным пластиком и показали, что их экспериментальные результаты могут быть хорошо представлены функцией памяти в форме где в системе Это эквивалентно предположению, что материал ведет себя так, как если бы он имел единственное время релаксации 1,7 мсек. Надо помнить, что продолжительности соударений в опытах Тейлора и Вольтерра были между 5 и 17 мсек., так что получившееся время релаксации составляет около одной десятой от наибольшего из времен соударений. Как будет показано ниже, эксперименты, проведенные с циклами напряжений продолжительностью порядка 20 мксек., дают значение мксек., так что использование единственного времени релаксации для таких материалов представляется имеющим небольшое теоретическое значение и является только удобным методом описания суммарного механического поведения материала при напряжениях, прилагаемых в течение ограниченного промежутка времени. Это будет обсуждено позже в настоящей главе.

Вольтерра [149] описал также применение мерного стержня Девиса (см. гл. IV этой книги) для определения зависимости напряжение — деформация в цилиндрических образцах. Один торец образца помещается напротив ударяемого конца мерного стержня, а в контакте с противоположным торцом образца располагается наковальня в форме короткого стального цилиндра. Затем пуля диаметром 0,58 см ударяет по свободному торцу наковальни. Импульс напряжения, который возбуждается на конце мерного стержня давлением образца, распространяется вдоль стержня и записывается с помощью плоскопараллельного конденсаторного микрофона и катодно-лучевого осциллографа, как в аппаратуре Девиса (фиг. 23). Таким образом может быть определена кривая напряжение — время для образца. Чтобы получить кривую деформация — время, такой же пулей стреляют по концу мерного стержня Девиса без образца и наковальни, причем предполагается, что полученная таким образом кривая давление — время подобна той, которая получается в первом опыте, когда пуля ударяет по наковальне. Если масса наковальни равна а ее перемещение в момент есть х, то по второму закону Ньютона имеем

где сила давления пули на наковальню, а сила взаимодействия между образцом и наковальней. Если теперь

перемещение конца мерного стержня, измеренное конденсаторным микрофоном, равно (0 при наличии образца и без образца, то имеем

где В — площадь поперечного сечения образца, плотность материала стержня и с — скорость распространения продольных волн в стержне [см. уравнение (4.1)]. Подставляя из соотношений (6.16) в уравнение (6.15) и производя интегрирование, находим

Отсюда можно получить кривую деформация — время, после чего для образца может быть построена кривая напряжение—деформация.

Основной недостаток этого метода состоит в том, что кривая напряжение — деформация может быть получена только для возрастающих напряжений, а также в том, что импульсы давления должны быть достаточно продолжительными, чтобы они не искажались по мере их распространения вдоль стального стержня. Этим методом Вольтерра [149] провел измерения с медными и политановыми образцами. При медных образцах напряжение достигало максимума в течение 130 мксек., а при политановых образцах — в течение 320 мксек.

На фиг. 34 показано видоизменение мерного стержня Девиса, использованное автором [73] для определения зависимости напряжение—деформация в образцах, имеющих форму дисков, когда они проходят цикл напряжений за время порядка 20 мксек. Импульс давления возбуждался здесь детонатором, который прикреплялся к сменной стальной наковальне на ударяемом конце стержня. Импульс распространяется по стержню и сжимает образец между основным стержнем и наставным стержнем, причем плотно подогнанный хомутик удерживает образец и наставной стержень в нужном положении. Плоские поверхности образцов смазываются тонким слоем масла, чтобы обеспечить свободное поперечное движение. Амплитуда импульса, перед тем как он достигает образца, измеряется с помощью цилиндрического конденсаторного микрофона, сигнал от которого усиливается и подается на агрегат отклоняющих в направлении пластинок двухлучевого катодного осциллографа. Сигнал от плоско-параллельного конденсаторного микрофона, помещенного на конце наставного стержня, также усиливается и подается на другой агрегат -пластинок осциллографа. Инерционный выключатель, подобный тому, который описан Девисом, служит для включения

узла пробежки, который дает периодическую пробежку в направлении X осциллографа и подсвечивает пятнышко осциллографа, так что можно получить фотографическую запись его следа. Осциллографическая запись, полученная от цилиндрического микрофона, дает зависимость давление — время для падающего импульса, распространяющегося вдоль стержня к образцу [см. уравнение (4.2)]; будем называть это напряжение Запись от плоско-параллельного конденсаторного микрофона дает перемещение свободного конца наставного стержня, которое будем называть Из зависимостей и можно вывести соотношение напряжение — деформация образца.

Фиг. 34. Использование стержня Девиса для определения динамической зависимости напряжение — деформация.

Зависимость напряжение — время можно получить из уравнения

Чтобы найти зависимость деформация — время, надо рассмотреть перемещения двух концов образца раздельно. Конец образца, находящийся в контакте с основным стержнем, перемещается как под действием падающего импульса, так и под действием отраженного импульса, движущегося обратно вдоль стержня. Перемещение, вызванное падающим импульсом, равно а перемещение, вызванное отраженным импульсом, равно

Значит, общее перемещение этого конца равно

Перемещение торца, находящегося в контакте с наставным стержнем, равно так что изменение длины образца равно что вследствие уравнения (6.8) равно

если вместо писать

Можно видеть, что представляет собой перемещение конца наставного стержня, когда между стержнями нет образца и начальный импульс переходит в наставной стержень без изменения формы.

В этих экспериментах длина образца должна быть достаточно малой по сравнению с длиной импульса, чтобы разность давлений на обоих концах образца была пренебрежимо малой. При этих условиях поступательным ускорением образца можно пренебречь, но надо еще принять во внимание радиальное движение, так как с ним связана кинетическая энергия, каким бы тонким образец ни был. Эта поправка на радиальную энергию содержит вторую производную от деформации по времени. К счастью, в условиях проведенных опытов она никогда не превышала 5%, и поэтому нет необходимости определять ее абсолютное значение со слишком большой точностью.

Этим методом были построены кривые напряжение — деформация для нескольких пластиков и резин, кроме того, несколько опытов было проведено с медными и свинцовыми образцами. Результаты для пластиков и резин истолковывались с помощью функции памяти в форме, определяемой уравнением (6.14). В случае политана найдено, что прекрасную согласованность с экспериментальными результатами можно получить в предположении, что функция имеет вид при мксек. Сравнивая со значениями, полученными Вольтерра, можно видеть,

что значения А их здесь сильно отличаются от тех, которые были выведены из опытов Вольтерра, и это указывает на то, что предположение о единственном времени релаксации является чрезмерным упрощением задачи. нако в очень короткой области времен весьма простая форма функции памяти является совершенно достаточной, как можно видеть из фиг. 35, на которой экспериментальные точки для политана сравниваются с теоретической кривой. Экспериментальные точки получены через интервалы в 2 мксек, так что полный цикл напряжений соответствует приблизительно 28 мксек.

Как упоминалось в гл. V, общая форма функции памяти соответствует спектру времен релаксации. Причина, вследствие которой единственное время релаксации дает хорошую согласованность только тогда, когда рассматривается ограниченное время и ограниченная область частот, состоит в следующем. Процессы, которые связаны с временами релаксации, очень длительными по сравнению с временем приложения напряжения, не должны оказывать влияния на механическое поведение, тогда как процессы с очень короткими временами релаксации выступают в роли "мгновенной" механической реакции материала, а не в роли функции памяти.