§ 6. Ударные волны в твердых телах

Как показано в § 2 этой главы, уравнения движения и неразрывности твердого стержня или проволоки формально эквивалентны уравнению волны конечной амплитуды в жидкости. Скорость распространения возмущения, согласно уравнению (7.21), равна если модуль упругости постоянен, большие возмущения сжатия будут распространяться быстрее малых возмущений, так что любой конечный импульс сжатия по мере распространения в среде, в конце концов, образует ступенчатый фронт. В твердых телах скорости частиц даже при интенсивных возмущениях очень малы по сравнению со скоростью распространения, так что, если 5 постоянно, импульс напряжения может распространяться на значительное расстояние без изменения формы, но изменения значения этого модуля упругости приводят к искажению импульсов конечной амплитуды. Для большинства твердых тел 5 уменьшается за пределом упругости, и в стержнях из таких материалов при достаточно больших деформациях возникают не ударные волны, а пластические волны. Однако имеется несколько твердых тел, например резины и другие высокие

полимеры, в которых большие деформации приводят к определенной ориентации длинных цепочечных молекул, вызывающей сильные возрастания значения Поэтому можно ожидать, что при распространении в таких материалах больших деформаций будут развиваться ударные волны. Кажется, до настоящего времени не было проведено каких-либо опытов, чтобы исследовать, имеет ли это место в действительности.

Ударные волны могут возникать в твердых телах также при других условиях, например когда в этих телах распространяются волны расширения большой амплитуды. Как показано в первой части монографии, упругие волны расширения распространяются в твердом теле со скоростью или где — модуль всестороннего сжатия. Но, как показал Бриджмен [16], сжимаемость твердых тел возрастает при высоких давлениях, вследствие чего можно ожидать, что скорость волны сжатия большой амплитуды будет больше, чем волны малой амплитуды. Модуль сдвига по-видимому, роли не играет, так как задолго до того, как такое высокое давление будет достигнуто, предел текучести на сдвиг будет пройден и материал будет фактически вести себя подобно жидкости.

Бриджмен [16] показал, что зависимость между объемом и гидростатическим давлением в твердых телах может быть представлена в виде соотношения

где начальный объем, а постоянные. Если измеряется в то а будет порядка порядка для большинства металлов. Для чистого железа

Модуль всестороннего сжатия определяется как и при малых давлениях стремится к постоянному значению а при высоких давлениях он имеет значение Таким образом, чтобы изменить сжимаемость металлов на необходимо давление порядка что приводит к изменению скорости распространения только на Очевидно, кривизна диаграммы в металлах становится существенной только при очень высоких давлениях и, следовательно, возникновение ударных волн в твердых телах вероятно или при непосредственном контакте тела со взрывным зарядом, или при попадании в тело высокоскоростного снаряда.

Сколько-нибудь детальное рассмотрение теории ударных волн выходит за рамки настоящей монографии, но полное обсуждение этого вопроса можно найти у Тейлора и Маккола [140], Эрпена [48], Куранта и Фридрихса [23] и Пеннея и Пайка [108]. Мы дадим лишь

краткое описание того, как получаются основные уравнения ударных волн. Эти соотношения, известные под названием уравнений Ранкина— Гюгонио, выводятся из уравнений сохранения массы, количества движения и энергии в среде.

Предположим, что возникла плоская ударная волна, распространяющаяся в материале с постоянной скоростью с. В области позади ее фронта скорости частиц, давление и плотность предполагаются постоянными. Имеется переходная зона между фронтом ударной волны и невозмущенным материалом. Условия в переходной зоне также предполагаются установившимися. Выберем теперь нашу систему отсчета так, что переходная зона представляется находящейся в покое. На фиг. 43 показан материальный цилиндр единичного поперечного сечения, содержащий переходную зону.

Фиг. 43. Цилиндрическая масса материала единичного поперечного сечения, проходящая справа налево через переходную зону ударной волны. Система отсчета выбрана так, что переходная зона кажется находящейся в покое.

Пусть в выбранной системе отсчета давление, плотность и скорость частиц позади переходной зоны, в зоне А суть а в невозмущенном материале соответствующие величины суть

Так как вещество нигде не аккумулируется, масса материала, входящего в переходную, зону за единицу времени, равна массе материала, выходящего из этой зоны, так что если обозначить эту массу через то имеем

Материал входит в переходную зону со скоростью и покидает ее со скоростью Приравнивая скорость изменения количества движения действующей силе, получим

Наконец, работа, которая передается цилиндру в единицу времени, равна причем она совпадает с изменением кинетической энергии и внутренней энергии материала при прохождении через

переходную зону. Если обозначить изменение внутренней энергии в единице массы через то имеем

(7.23), (7.24) и (7.25) суть те три уравнения, из которых можно вывести соотношения Ранкина-Гюгонио.

Так, из (7.2) и (7.24) находим

где Далее, есть скорость кажущегося движения материала в невозмущенной области, если система отсчета выбрана так, что переходная область представляется неподвижной. Она равна, следовательно, скорости распространения ударного фронта с в невозмущенном материале.

Скорость частиц позади ударного фронта относительно невозмущенного материала равна из соотношений (7.23) и (7.24) эта скорость будет

Наконец, из (7.25) получаем соотношение

Три уравнения (7.26), (7.27) и (7.28) и есть соотношения Ранкина— Гюгонио для распространяющегося ударного фронта, причем первые два из этих уравнений выведены целиком из условий сохранения массы и количества движений и, следовательно, справедливы даже в том случае, когда в среде генерируется химическая энергия, как это имеет место в волне детонации, проходящей через заряд. Из уравнения (7.26) можно видеть, что для очень малых разностей давления скорость с стремится к скорости звука в среде, а из (7.26) и (7.27) зависимость между разностью давлений и скоростью частиц V принимает вид

что представляет собой соотношение, полученное для плоских упругих волн [см. уравнение (3.8)].

Толщина переходной зоны зависит от свойств среды и управляется диссипативными силами, влияние которых становится существенным при возрастании перепада скорости в переходной зоне. Для жидкостей показано, что эта толщина имеет порядок одного среднего свободного пробега молекулы. Для газов это, очевидно, будет предельной толщиной, так как расстояние между молекулами, которые испытали ускорение от приближающегося ударного фронта, и молекулами, еще не испытавшими его воздействия, должно быть по крайней мере такого порядка. Кажется, не было опубликовано работ относительно вероятной толщины переходной зоны в твердых телах.