3.6. ОЦЕНКИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ

Обычно качество системы связи оценивают по ее помехоустойчивости, основной характеристикой которой является средняя вероятность ошибки при данном отношении сигнал-шум. При этом для некоторых систем интерес представляет вероятность ошибки в бите сообщения а для некоторых — во всем кодовом слове (сообщении) При декодировании с возможностью отказа будем различать вероятность ошибки в кодовом слове и вероятность отказа

Вероятность ошибки может быть определена как по точным формулам, так и по приближенным. Альтернативным путем вычисления вероятности ошибки является статистическое моделирование на ЭВМ, однако последнее возможно, если вероятность ошибки в символе на выходе декодера достаточно мала, и связано с большими вычислительными затратами.

Будем рассматривать и жесткое, и мягкое декодирование, причем в случае мягкого (и квантованного) декодирования

ограничимся Наряду с вероятностью ошибки важной характеристикой является энергетический выигрыш кодирования (ЭВК)

где — отношение сигнал-шум при вероятности ошибки в бите (либо в -ичном символе) по входу декодера — вероятность ошибки по входу декодера, приводящая к вероятности ошибки по выходу декодера. Энергетический выигрыш показывает, на сколько децибел можно уменьшить отношение сигнал-шум в системе с кодированием по сравнению с системой без кодирования при одинаковых вероятности ошибки и скорости передачи.

Утверждение 3.17. В системе с асимптотический (при в случае жесткого и мягкого декодирования соответственно равен

где -минимальное расстояние кода; число исправляемых ошибок.

Приведем теперь краткую сводку формул, позволяющих вычислять в различных случаях вероятности ошибок декодирования.

Утверждение 3.18. Вероятности ошибок и отказа от декодирования для блочного линейного кода при исправлении ошибок вычисляются по формулам [33]

где - вероятность ошибки в символе на входе декодера; число слов веса

Утверждение 3.19. Вероятность ошибки при декодировании двоичного блочного линейного кода по максимуму правдоподобия для жесткого и мягкого декодирования вычисляется по аддитивной оценке [33]

Здесь

где отношение сигнал-шум на бит; число информационных символов кода; скорость кода, - интеграл вероятности.

Утверждение 3.20. Вероятность ошибки при декодировании двоичного блочного линейного кода по максимуму правдоподобия для мягкого канала вычисляется по тангенциальной оценке [64, 65]

где - граничное значение аргумента, а находится из уравнения

Утверждение 3.21. Вероятность ошибки в бите при пороговом (мажоритарном) декодировании двоичного линейного кода по максимуму правдоподобия для жесткого, квантованного и мягкого каналов вычисляется по формулам [47, 66]

где вероятность того, что при данном выходе канала ошибка в проверке будет равна 1; черта сверху означает усреднение, а

Здесь вероятность жесткой ошибки; вероятности попадания в соответствующую зону квантования в канале с двумя входами и выходами, а число символов в проверке, попавших в зону квантования.

При каскадном кодировании легко вычислять вероятность ошибки, комбинируя оценки утверждений 3.18-3.21, при этом в формулу для вероятности ошибки в бите или слове внешнего кода в качестве вероятности ошибки символа подставляется вероятность ошибки в слове внутреннего кода. Если декодер внешнего кода исправляет ошибки и стирания, то вероятность ошибки в бите оценивается по формуле

где вероятность ошибки в символе; вероятность стирания символа; дробная часть числа число ошибок; число стираний. В случае OK-кодов порядка вероятности ошибки в слове и бите задаются следующими выражениями [67]:

где длина внешнего кода; число информационных символов в внешнем коде; число информационных символов в внутреннем коде;

— соответственно вероятность ошибки в слове внешнего кода и вероятность ошибки в бите внешнего кода при ошибочном декодировании внешним кодом

На рис. 3.10 приведены результаты расчета по (3.43) вероятности ошибки в бите от нормированного отношения сигнал-шум для кодов БЧХ длины от 31 до 1023 с относительными скоростями при жестком декодировании по расстоянию, а на рис. 3.11 — результаты расчета энергетического выигрыша

Рис. 3.10 Зависимость вероятности ошибки в бите от нормированного отношения сигнал-шум для кодов при жестком декодировании

Рис. 3.11 Зависимость от вероятности ошибки в бите для кодов при жестком декодировании

кодирования от для кодов БЧХ длины 127; 255; 511 с числом исправляемых ошибок На рис. 3.12 приведены результаты расчета зависимости ошибки в слове от отношения сигнал-шум для декодирования по максимуму правдоподобия кодов (7,4); (18,9); (24,12); (48,24); (128,64) (первый член). Расчет проводился по аддитивной и тангенциальной оценкам. На рис. 3.13 приведены характеристики субоптимальных алгоритмов декодирования Чейза, Велдона и оптимального порогового алгоритма для кодов (24, 12, 8) и (21, 11, 6) при различном числе уровней квантования. В [56] приведены параметры мажоритарных кодов и при (они чуть хуже, чем у кодов БЧХ).

На рис. 3.14 приведены результаты расчета зависимости нормированного отношения сигнал-шум от скорости каскадного кода с внутренними ортогональными кодами, принимаемыми по максимуму правдоподобия, и внешними кодами РС с исправлением ошибок при вероятности, ошибки в бите [68].

На рис. 3.15 приведены результаты расчета -кодов порядка с внешними кодами РС длины и внутренними кодами длины Внутренние коды декодируются по максимуму правдоподобия, а внешние — с исправлением ошибок [69].

На рис. 3.14, 3.15 приведены также огибающие соответствующего множества точек. Каждой одной колоколообразной кривой соответствует своя система внутренних вложенных кодов.

Рис. 3.12. Зависимость вероятности ошибки в слове от нормированного отношения сигнал-шум при мягком декодировании по максимуму правдоподобия аддитивная оценка, — тангенциальная оценка): 1 — код (7, 4); 2 — код (18, 9); 3 — код (24, 12), 4 — код (48, 24); 5 — код (128, 64)

Рис. 3.13 Зависимость вероятности ошибки в бите от нормированного отношения сигнал-шум при субоптимальном декодировании код ( код (21, 11,6): 1 — алгоритм Чейза № 1; 2 — алгоритм Чейза № 2; 3 — алгоритм Чейза № 3; 4 — алгоритм Велдона ; 5, 6, 7 — пороговое декодирование 4)

Важным элементом использования корректирующих кодов в системах связи с двоичной фазовой модуляцией является возможность обеспечения устойчивости к начальной неопределенности и случайным скачкам фазы опорного колебания (к «обратной работе»). Известны различные методы по борьбе с «обратной работой», в том числе в случае отсутствия кодирования — применение относительной модуляции [70]. Однако при применении

Рис. 3.14. Зависимость нормированного отношения сигнал-шум от скорости каскадного кода с внутренними ортогональными и внешними кодами при

Рис. 3.15. Зависимость от скорости OK-кода при мягком декодировании внутрених кодов по максимуму правдоподобия

кодирования методы относительной модуляции становятся неэффективными в связи с пакетированием ошибок на входе декодера (при внутренней по отношению к кодированию относительной модуляции) [4]. Здесь коротко рассмотрим кодовые методы устранения неоднозначности фазы, так как другие методы слабо зависят от кодовых свойств или менее эффективны. Эти методы связаны с использованием прозрачных и фазируемых кодов [70—72].

Определение 3.16. Прозрачным назовем двоичный код, в котором содержатся инверсии всех кодовых слов. Фазируемым назовем двоичный код, в котором не содержатся инверсии всех кодовых слов.

Утверждение 3.22. Для того чтобы линейный двоичный код был Прозрачным, необходимо и достаточно, чтобы сумма строк порождающей матрицы была равна вектору из одних единиц. «Прозрачная» форма порождающей матрицы единственна с точностью до перестановки строк.

В [71] приведена следующая сводка фактов, известных относительно прозрачных кодов:

1. Коды Хэмминга, Голея, Рида — Маллера, примитивные коды БЧХ, коды на основе матриц Адамара, коды РС, коды Нордстрома — Робинсона, Кердока, Препараты, квадратично-вычетные, совершенные и равномерно упакованные прозрачны.

2. Каскадные коды Форни, обобщенно-каскадные и итеративные коды прозрачны, если прозрачны составляющие их коды. Операция прямой суммы кодов сохраняет прозрачность.

3. Условие прозрачности циклических кодов — делимость на проверочного многочлена или отсутствие корня 1 у порождающего многочлена.

4. Если известен весовой спектр линейного кода А, то код А дуальный коду А, будет прозрачным при условии где мощность кода

5. Для нелинейных кодов условие симметричности спектра расстояний эквивалентно условию прозрачности. Для прозрачности нелинейного кода, дуального данному коду со спектром расстояния необходимо выполнение условия при где компонента спектра расстояний кода; значение многочлена Кравчука.

Из п. 3 следует, что коды нечетной длины с проверкой на четность фазируемы. Известны также верхние границы объема прозрачных кодов [73] и некоторые свойства весового нумератора линейного прозрачного кода. В частности, весовой нумератор может быть представлен в виде многочлена от

причем степени только нечетны при четном и только четны при нечетном степень не превосходит степень не превосходит

Весовой нумератор дуального к прозрачному кода можно представить в виде многочлена от

Рассмотрим корректирующую способность фазируемых кодов. Предварительно опишем процедуру приема фазируемых кодов, совмещенную с оценкой неизвестной «фазы» (как и ранее, ограничимся двоичным случаем).

Пусть А — фазируемый код с параметрами , А — множество инверсий всех слов кода А. Сформируем новый код с параметрами Процедура приема выглядит так:

1) декодировать код по максимуму правдоподобия;

2) если решение декодера принадлежит подкоду А, положить сдвиг фазы и выдать решение;

3) если решение принадлежит подкоду А, положить инвертировать решение.

Для кодов БЧХ справедливо следующее

Утверждение 3.23. Прозрачный код с расстоянием есть объединение его фазируемого подкода А с расстоянием с инверсиями слов этого подкода, причем

Данное утверждение практически очевидно: если учесть, что порождающий полином прозрачного кода есть то порождающий полином фазируемого кода есть

Рассмотрим теперь мажоритарные коды. В дополнение к определенным выше понятиям введем свойство автоматической фазируемости как некоторое свойство фазируемого кода, описываемое через свойство его декодера. Пусть существует декодер фазируемого кода, исправляющий только ошибки в канале без скачков фазы. Для автоматически фазируемого кода потребуем, чтобы тот же декодер без каких-либо изменений его структуры в канале со скачками фазы одновременно исправлял бы и ошибки, и скачки фазы. Будем подразумевать, что используется алгоритм декодирования мажоритарных кодов без коррекции синдрома.

Утверждение 3 24. Если в каждой проверке относительно ошибочного символа содержится четное число символов, то код прозрачен и исправляет ошибок

Утверждение 3.25. Если число разделенных проверок относительно ошибочного символа нечетно и в каждой проверке содержится нечетное число символов, то код автоматически фазируем и исправляет ошибок

Рассмотрим теперь применение утверждений 3 24 и 3.25 к конкретным кодам Заметим, что любой евклидово-геометрический двоичный код характеризуется геометрией и числом шагов ортогонализации на первом шаге декодирования такого кода каждая проверка является -мерной плоскостью и состоит из точек [35].

Любой проективно-геометрический код характеризуется геометрией и числом шагов ортогонализации на первом шаге декодирования каждая проверка является -мерной плоскостью и состоит из точек [35].

Утверждение 3.26. Любой двоичный евклидово-геометрический код прозрачен, а проективно-геометрический код автоматически фазируем.

Теперь кратко рассмотрим способы реализации алгоритмов кодирования и декодирования корректирующих кодов, причем основное внимание будем уделять уже реализованным системам. Подробный обзор реализованных систем кодирования приведен по сверточным кодам в [74], а по блочным — в [75].

Если в начальные периоды развития техники кодирования предпочтение отдавалось аппаратным способам реализации кодеков, то в последнее время предпочтение часто отдается программным методам реализации и комбинированным программно-аппаратным методам. Кроме того, при реализации аппаратными методами все большее внимание уделяется технологии БИС и СБИС.

Наиболее целесообразно использовать аппаратные решения при декодировании мажоритарных кодов. Примерная функциональная схема такого декодера показана на рис. 3.16. Модификации декодеров с учетом использования OK-кодов и скачков фазы опорного колебания рассмотрены в [76—79]

Рис. 3.16. Фуикциональиаи схема жесткого (а) и мягкого (б) мажоритарных декодеров

Рис. 3.17. Функциональная схема алгебраического декодера кода БЧХ

Примерный вид алгебраического декодера кода БЧХ показан на рис. 3.17. В этом случае возможна как программная, так и аппаратная реализация некоторых узлов. Если имеется произвольный декодер кода РС над полем то ключевыми операциями любого алгоритма декодирования являются умножение и деление в поле Эти операции можно реализовать с помощью-комбинационной схемы с входами и выходами регистра длиной бит с обратными связями; программной процедуры.

Для программной реализации вычисления синдромов требуется умножений и сложений в поле где число ошибок, исправляемых кодом. Для аппаратной реализации вычисления синдромов кода требуется сумматоров по модулю 2, 21 регистров с обратными связями и ячеек памяти.

Если одно умножение в поле занимает тактов, то аппаратное вычисление синдромов кода занимает тактов. Программное же вычисление синдромов состоит из умножений и занимает гораздо больше времени, поэтому часто отдается предпочтение аппаратному вычислению синдромов. Можно повысить быстродействие схем аппаратного вычисления синдромов кода за счет некоторой модификации формирователя синдрома кода — в этом случае реализация занимает тактов.

Для программной реализации решения ключевого уравнения требуется сложений и умножений в поле За счет выполнения умножения и деления на аппаратных средствах программная реализация может быть более быстродействующей по сравнению с полностью аппаратной реализацией.

Программная реализация вычисления локаторов и значений ошибок, осуществляемая с помощью умножений, сложений, делений, занимает очень много времени. Аппаратная же реализация указанных операций, выполняемая с помощью трех регистров с обратными связями, ячеек памяти, сумматоров, позволяет обеспечить высокое быстродействие.

Схемные особенности реализации декодеров Витерби достаточно подробно описаны в [4, 74]. Здесь лишь отметим, что сложность и быстродействие любого декодера пропорциональны числу узлов

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

в решетчатой диаграмме. Пороговые декодеры сверточных кодов слабо отличаются от мажоритарных декодеров блочных кодов.

В табл. 3.1 приводятся некоторые характеристики кодеков блочных кодов, реализованных за рубежом и описанных в печати [75]. Чтобы не перегружать списка литературы, в книге часто ссылки делаются на обзор [75].

В табл. 3.2 приводится по материалам [39, 75] сравнение различных кодеков блочных и сверточных кодов по помехоустойчивости, скорости передачи и сложности реализации. Видно, что существенными преимуществами во всех аспектах обладают каскадные коды. Следует отметить, что приведенная в таблице скорость передачи измеряется в битах в секунду, а не, как принято в книге, в битах за измерение канала. Однако, как указано а предисловии, эти величины легко связать при известных характеристиках канала и системы связи.

Как будет видно, еще большие преимущества у каскадных методов в случае нетривиальных СКК или негауссовского канала.

Широкое распространение техники корректирующих кодов приводит к тому, что появляются международные стандарты в области кодирования. Так, имеются публикации, что в качестве стандарта для использования в системах NASA и ESA рассматриваются

Таблица 3.2 (см. скан)

каскадные коды с внутренним сверточным кодом с ограничением и свободным расстоянием и внешними кодами или . Также используется перемежение на пять блоков [75].