Глава 2. ВИДЫ СИГНАЛОВ ДЛЯ ПЕРЕДАЧИ ПО КАНАЛУ БЕЗ МЕЖСИМВОЛЬНОЙ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ

2.1. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛОВ

Основные характеристики сигналов в канале дискретного времени можно записать в следующем виде :

энергия сигнала есть

взаимная энергия сигналов

энергия разности между сигналами

а коэффициент взаимной корреляции есть косинус угла между векторами и соответствующими сигналам, в -мерном евклидовом пространстве

Следует отметить, что сигналы называются ортогональными если Для сигналов с одинаковыми энергиями энергию разности сигналов (2.3) можно представить в виде:

После введения основных характеристик сигналов (2.1)-(2.6) сформулируем следующее определение.

Определение 2.1. Ансамбль сигналов X в евклидовом пространстве размерности состоящий из сигналов с квадратом минимального евклидового расстояния между сигналами

обозначим Иногда такой ансамбль будем называть евклидовым кодом, или кодом над евклидовым пространством.

Введем в рассмотрение скорость передачи в битах на измерение канала:

Ансамбли сигналов (евклидовы коды) могут быть поверхностно-сферическими и объемно-сферическими. В первом случае

точки, соответствующие сигналам, расположены на -мерной сфере, а во втором — занимают весь -мерный шар. Будем считать, что как в первом, так и во втором случае рассматриваемые ансамбли сигналов удовлетворяют свойству нормировки

где вероятность сигнала на входе канала.

Кроме того, нам понадобятся еще некоторые специальные свойства симметрии сигналов, непосредственно связанные с каналом связи [6]. Особенно эти свойства будут нужны при рассмотрении мажоритарных алгоритмов декодирования в гл. 5. Здесь для простоты рассмотрим только случай равновероятных сигналов на входе канала.

Будем считать, что множество сигналов на входе канала есть X, а на выходе и что для каждого входа канала и выхода канала определено переходное распределение вероятностей Тогда введем в рассмотрение частные отношения правдоподобия:

На произвольном выходном множестве в данной части) определены подмножеств (решающие области). При принятии решения по максимуму правдоподобия решающие области не пересекаются и формируются следующим образом:

Далее под модулятором будем понимать устройство, сопоставляющее номеру сигнала (или его двоичному коду) сам сигнал, а под демодулятором — устройство, осуществляющее обратную операцию в соответствии с (2.11).

При данном выходном сигнале вероятность того, что решение будет ошибочно и ошибка (обозначим ее условно ) примет значение зависит от и определяется следующим образом. Пусть тогда в силу равенства априорных вероятностей сигналов из X получим

Формула (2.12) устанавливает связь между апостериорной вероятностью того, что ошибка решения равна и значением выходного сигнала. При вероятности не превышают 1/2, если области области максимального правдоподобия. В то же время при известном из набора вероятностей (2.12) могут быть определены все частные отношения правдоподобия

и, следовательно, можно восстановить выходной сигнал с точностью до отношения правдоподобия.

В дальнейшем для многих классов сигналов будем предполагать выполненным следующее условие, фактически означающее наличие симметрии по входу рассматриваемых каналов, а именно: распределение и решающие области таковы, что для каждого существует отображение множества в себя, при котором

Из соотношений (2.12), (2.14) следует, что для всякого отображения выполняются неравенства

Можно показать [6], что основное свойство рассматриваемых сигналов состоит в том, что если решение максимального правдоподобия, то при данных апостериорных вероятностях

соответствующий дискретный канал по входу модулятора и выходу демодулятора является симметричным, причем его переходные вероятности совпадают с вероятностями Другими словами, исходный симметричный по входу канал без памяти можно трактовать как переменный -ичный симметричный канал без памяти, в котором переходные вероятности меняются от символа к символу в зависимости от значений выходных сигналов исходного канала.

Получающийся -ичный канал будем называть симметричным каналом с равновероятными ошибками, если апостериорные вероятности одинаковы для всех ненулевых значений ошибок, т. е.