2.5. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ АНСАМБЛЕЙ СИГНАЛОВ

В гл. 1 определен дискретный канал по входу модулятора и выходу демодулятора с переходными вероятностями Число входов и выходов у такого канала равно Каждые вход и выход связаны переходной вероятностью ошибки, которая сама зависит от выходного сигнала Следовательно, данный канал меняется во времени. Как будет ясно из дальнейшего изложения, он является эквивалентным каналом для внешнего по отношению к ансамблю сигналов корректирующего кода в СКК

Кроме меняющегося во времени эквивалентного дискретного канала можно рассмотреть постоянный во времени эквивалентный дискретный канал с входами и выходами. Такой канал получается при квантовании области приема каждого сигнала на зон Тогда каждый выход «метится» номером решающей области и номером зоны в решающей области. Переменный во времени и постоянный эквивалентные дискретные каналы показаны на рис. 2.12.

Помехоустойчивость данного ансамбля сигналов определяется средней вероятностью ошибки в сигнале при условии, что передавался сигнал:

Отметим, что возможно и другое выражение для вероятности ошибки при передаче сигнала, связанное с интегрированием по каждому из измерений.

Средняя вероятность ошибки

где вероятность сигнала.

Легко увидеть, что если для ансамбля сигналов выполняются специфические свойства симметрии (см. разд. 2.1), то (2.35) сводится к виду

Пример 2.8. Рассмотрим передачу ортогональных сигналов Выходное множество X можно трактовать как -мерное евклидово пространство.

Случайные величины являются выходами корреляторов, согласованных с каждым из сигналов. Эти случайные величины статистически независимы, имеют гауссовские распределения, причем можно считать, что дисперсия каждого распределения равна 1, а математическое ожидание всех распределений равно 0, кроме одного, равного и соответствующего переданному сигналу. Величина есть отношение сигнал-шум, где средняя мощность сигнала на одно измерение дисперсия шума. Тогда

где

Множество решающая область) представляет собой подмножество -мерного пространства, состоящее из последовательностей с максимальной координатой.

Средняя вероятность ошибки, задаваемая формулой (2 37), может быть вычислена следующим образом (см., например,

или по более простой формуле

где

— интеграл вероятности. Вероятности ошибок табулированы для многих значений (см, например, [9, 10]) При больших значениях довольно точной является правая часть следующей границы.

На рис. 2.13 показана зависимость вероятности ошибки в символе от нормированного на бит отношения сигнал-шум Здесь же показаны кривые: для биортогоналвных сигналов при для противоположных сигналов при При большом числе сигналов помехоустойчивости биортогональных и ортогональных сигналов практически совпадают.

Однако вычисления по формулам (2.37), (2.38) часто бывают затруднительны, и удобно пользоваться геометрическими соображениями и интегрированием по координатам в областях решения по каждому сигналу [4].

Пример 2.9. Для ансамбля сигналов изображенного на рис. 2.2, а (№ 1), вероятность ошибки

Рис. 2.13 Характеристики помехоустойчивости низкоскоростных сигналов (ортогональных, биортогональных, противоположных)

Рис. 2.14. Характеристики помехоустойчивости двухмерных ансамблей сигналов

а для ансамбля сигналов ФМ8

где

— функция Оуэна [4]

Для большого числа ансамблей сигналов результаты можно найти в [4].

При росте объема алфавита прямой перебор всех областей приема затруднителен, и тогда можно воспользоваться аддитивной границей

где число типов сигналов; число сигналов типа; число различных расстояний от сигнала типа квадрат евклидова расстояния между сигналом типа и одним из сигналов, имеющим по значению расстояние; число таких сигналов.

На рис 2.14 показаны зависимости вероятности ошибки в символе от отношения сигнал-шум для двухмерных ансамблей сигналов, показанных на рис. 2.2 (1—11), и сигналов Видно, что далеко не всегда минимальное евкли

дово расстояние ансамбля сигналов полностью характеризует его помехоустойчивость при конечной вероятности ошибки в символе однако это почти всегда так при достаточно большом отношении сигнал-шум.

Часто, особенно когда система сигналов используется без внешнего корректирующего кодирования, интерес представляет вероятность ошибки в двоичном символе — бите которая существенно зависит от манипуляционного кода. Так, кодирование кодом Грея при небольших вероятностях ошибки гарантирует соотношение

Наряду с исследованием характеристик ансамблей сигналов при ненулевой вероятности ошибки интерес представляет исследование предельной скорости передачи при нулевой или стремящейся к нулю вероятности ошибки. Естественно, этот результат достигается при стремящейся к бесконечности длине внешнего кода по отношению к ансамблю сигналов.

Определение 2.2. Пропускной способностью произвольного дискретного канала, имеющего входов, выходов, переходные вероятности и вектор вероятностей сигналов на входе канала будем называть величину

т. е. максимизированную по всем распределениям на входе наибольшую среднюю взаимную информацию которая может быть передана по каналу при его однократном использовании [24, 25].

Можно показать [3], что, если для канала выполняются условия симметрии, о которых говорилось выше, пропускная способность достигается на равномерном входном распределении вероятностей.

Пример 2.10. Для симметричного дискретного канала с входами и выходами из (2 47) можно получить

Для непрерывного по выходу канала (квантование в демодуляторе отсутствует) пропускная способность может быть вычислена по формуле (2.47), в которой вероятность является переменной и заменяется соответствующей плотностью вероятности а суммирование по заменяется -мерным интегралом.

Утверждение 2.9. На основе определения отношения сигнал-шум известная формула Шеннона для пропускной способности ГКБП имеет вид [11]

Естественно, что пропускная способность ГКБП выше, чем пропускная способность полунепрерывного канала с фиксированным ансамблем сигналов, а последняя выше соответствующей для дискретного канала. Исходя из этого в дальнейшем будем часто называть пропускную способность эквивалентных каналов при фиксированном ансамбле сигналов максимальной скоростью передачи.

В дальнейшем рассмотрим максимальные скорости передачи более подробно. Здесь лишь отметим, что только в случае симметричных двухмерных сигналов максимум скорости передачи достигается при равномерном входном распределении. На рис. 2 15 показана зависимость пропускной способности ГКБП и максимальных скоростей передачи при различных ансамблях сигналов и от нормированного отношения сигнал-шум Сплошными кривыми показан непрерывный канал, штриховыми — дискретный с жестким квантованием и штрихпунктирными — с квантованием области

Рис. 2.15 Зависимость пропускной способности ГКБП и максимальных скоростей передачи от нормированного отношения сигнал-шум

приема каждого сигнала на две зоны Там же точками показаны сигналы и при Видно, что переход к фиксированным ансамблям незначительно уменьшает максимальную скорость передачи по каналу. В то же время без использования внешнего корректирующего кода сигналы КАМ и ФМ передаются с существенными энергетическими потерями по сравнению с максимальной скоростью передачи. Расчеты показывают, что максимальный выигрыш от увеличения числа зон квантования (переход от жесткого решения к непрерывному каналу) зависит от отношения сигнал-шум в канале и меняется при переходе от малых к большим от 3 дБ практически до нуля. Почти половина этого выигрыша реализуется при