13.5. СИГНАЛЫ И СИГНАЛЬНО-КОДОВЫЕ КОНСТРУКЦИИ ДЛЯ КАНАЛА С МСИ И ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Для канала с переменными параметрами характерны два принципиально важных свойства

1 Конечная точность оценивания случайных параметров канала на фоне шума Как показано в разд 13 1 и проиллюстрировано рис 13 2, неточность оценивания, эквивалентная возникновению дополнительного, зависящего от передаваемого символа КАМ шума, приводит к заметным потерям помехоустойчивости по сравнению со случаем, когда параметры канала известны точно [198].

2 Даже при абсолютно точном оценивании в канале с переменными параметрами, соответствующем модели (13 55), возможны замирания как общие, когда энергия принятого сигнала становится существенно меньше среднего значения (возможность такого эффекта следует из гистограммы на рис. 13.5), так и селективные, когда случайная величина для некоторых становится меньше Этому эффекту соответствуют «кратеры» и «овраги» на рис. 13.6 Еще более наглядно селективные замирания видны на рис. 13.14, на котором показана реализация условной дисперсии гауссовского шума при заданном после коррекции (Число «активных» компонентов в блоке Сигнал на выходе корректора определяется выражением

В выражении (13.100) коррекция считается точной Условная дисперсия при этом

Столь значительные изменения мощности шума, как на рис. 13.14, приводят к тому, что при изменении условная вероятность ошибки меняется на несколько порядков Использование сигнальных конструкций с независимыми символами

Рис. 13.14 Реализация мгновенной мощности шума на входе решающего устройства

КАМ для каждого целесообразно только в каналах, меняющихся в весьма ограниченных пределах

Модифицированные сигналы КАМ, менее чувствительные к неточности оценивания параметров канала [198] Рассмотрим одно из решений первой из сформулированных выше проблем Как показано в разд 13 1, неточность оценивания параметров канала приводит к тому, что сигнал на входе решающего устройства может быть записан в виде

где величина, зависящая от неточности оценивания (см выражения (13 12) и (13 14)),

Как указывалось выше, дополнительный шум зависит от передаваемого символа КАМ, причем величина этого шума пропорциональна наибольший шум искажает сигналы на «периферии» сигнальной сетки, вызывая значительное увеличение условной вероятности ошибки при передаче таких сигналов По сути дела средняя вероятность ошибки определяется в канале с неточным оцениванием параметров наиболее удаленными от начала координат сигналами

Положим, что с вероятностью Формально задача построения сигналов КАМ, менее чувствительна к

неточности оценивания, чем использованные ранее, сводится к расположению на комплексной плоскости I сигнальных точек таким образом, чтобы минимальное евклидово расстояние между ними увеличивалось по мере удаления от начала координат. Иначе говоря, сигнальные точки должны быть плотно упакованы вблизи начала координат, а по мере удаления от него плотность упаковки должна уменьшаться (рис. 13.15). Пусть и две сигнальные точки КАМ. Если евклидово расстояние между ними удовлетворяет условию

для всех — константа, зависящая от мощности гауссовского шума, то верхняя граница для условной вероятности ошибки, подобная полученной в разд. 13.1, не зависит от и совпадает с границей для средней вероятности ошибки в символе:

Строго задача оптимизации системы сигналов КАМ для канала с неточно известными параметрами формулируется как

На рис. 13.2 штриховой линией показаны характеристики «растянутых» сигналов КАМ (граница (13.14)), полученных в результате оптимизации, при и 0,2 (см. рис. 13.2, а) и (см рис. 13.2, б). На тех же рисунках крестиками показаны результаты моделирования «растянутых» сигналов в канале с неточным оцениванием параметров.

«Растянутые» сигналы КАМ обладают значительным преимуществом по сравнению с Обычными однородными сигналами, у которых расстояние не зависит от положения сигнальных точек. Этот выигрыш достигается за счет некоторого увеличения средней мощности, т. е. обязательно имеет место проигрыш «растянутых» сигналов однородным в канале, параметры которого известны точно.

Из сказанного следует вывод, что при разработке метода передачи в канале с переменными параметрами существует возможность уменьшить требуемую точность оценивания за счет увеличения мощности информационных компонентов сигнала при «растяжении» алфавита КАМ. Например, при

Рис. 13.15 «Растянутые» сигналы КАМ концентрической структуры

использовании оценивания канала по зондирующим компонентам возможно более эффективное решение рассмотренной в предыдущем разделе задачи оптимального распределения мощности сигнала между информационными и зондирующими компонентами, чем при использовании однородных сигналов КАМ.

Сигнально-кодовые конструкции для канала с переменными параметрами. Рассмотрим возможность применения СКК для канала с МСИ (СККМ), полученных в гл. 12 для канала с постоянными параметрами, в канале, который описывается моделью (13.55) и в котором возникают общие и селективные замирания. Для конкретности будем рассматривать только конструкцию полученную путем объединения сигналов КАМ из одного и того же алфавита с помощью -кодов Рида—Маллера Как показано в гл. 5, 7 и 12, такие колструкции, во-первых, декодируются по максимуму правдоподобия с помощью алгоритма Витерби, а во-вторых, обеспечивают большой энергетический выигрыш

Особенность использования кодирования в канале с переменными параметрами состоит в том, что увеличенное за счет кодирования евклидово расстояние между сигналами (при фиксированной скорости) используется в основном не для уменьшения требуемого отношения сигнал-шум, получения энергетического выигрыша, а для компенсации замираний. Если кодирование не используется, т. е. все символы независимы по то замирание, состоящее в уменьшении приводит к уменьшению расстояния между символами алфавита КАМ, которому принадлежит и неизбежному увеличению вероятности ошибки. Когда символы объединены в СКК длиной причем соответствующие им собственные значения матрицы канала независимы, уменьшение одного из собственных значений может не привести к катастрофическим последствиям, так как существует «запас» расстояния, обеспеченный кодированием Приведенные простые физические рассуждения отражают суть кодирования в канале с переменными параметрами.

Важнейшим условием эффективности в таком канале является такое построение конструкции, при котором собственные значения матрицы канала соответствующие символам входящим в являются независимыми. Это накладывает определенные ограничения на выбор позиций символов на частотно-временной матрице, задаваемой индексами и показанной на рис 13 7.

Докажем возможность разбиения частотно-временной матрицы на подмножества, внутри которых все входящие в данное подмножество собственные значения независимы. При этом будем считать, что канал описывается упрощенной моделью вида

В частотной области этой модели соответствует

Модель (13.105) отличается от модели (13.55) только отсутствием (весовых коэффициентов

Утверждение 13.7. Пусть где целое, длина весовой последовательности канала с переменными параметрами, соответствующего модели (13.105), (13.106). Тогда множество собственных значений матрицы канала разбивается на непересекающихся подмножеств тачих, что для любого из этих подмножеств справедливо

где любая положительная константа; целое число, зависящее от

Доказательство 1. Разобьем все на подмножеств по следующему принципу: если Из (13.64) и (13.65) при для всех следует, что при фиксированном

для всех все принадлежащие одному подмножеству, не коррелированы по (по частоте).

2. Зафиксируем индексы Выберем таким образом, чтобы при любых рхфр выполнялось неравенство

для всех Возможность такого выбора для любого сколь угодно малого следует из (13.67).

Из доказательства утверждения следует, что собственные значения принадлежащие одному из подмножеств, расположены на частотно-временной матрице, показанной на рис. 13.7, с интервалом по оси (частот) и с интервалом по оси (времени). Примером такого подмножества может быть изображенное на рис. 13 7,6. Все остальные подмножества получаются сдвигом изображенного подмножества вниз возможных сдвигов) и вправо возможных сдвигов) Всего, таким образом, получается подмножеств. (Заметим глубокую связь этого результата с методом оценивания канала по зондирующим компонентам с использованием двухмерной интерполяции.)

Располагая сигналы КАМ, входящие в на позициях частотно-временной матрицы, принадлежащих одному из подмножеств получаем, что сигналы КАМ передаются в

независимых гауссовских каналах без памяти, входы и выходы которых связаны выражениями

причем двухмерные гауссовские случайные величины являются независимыми по

Описанная процедура расположения сигналов КАМ, входящих в . подобна перемежению двоичных символов на входе дискретного канала с целью получения независимых ошибок на входе декодера [1]. В рассматриваемом случае перемежению подвергаются сигналы КАМ, образующие

В заключение рассмотрим процедуру декодирования по максимуму правдоподобия в канале с переменными параметрами и описанным выше расположением сигналов КАМ на частотно-временной матрице Будем полагать, что параметры канала точно известны При этом правило решения по максимуму правдоподобия сводится к минимизации метрики

по всем возможным где длина Процедура декодирования с помощью алгоритма Витерби отличается от описанной в гл. 5 и 12 лишь наличием коэффициентов Перепишем (13.108) с учетом того, что в приемнике на входе декодера осуществляется коррекция

где . С учетом (13.109) метрика (13 108) приобретает вид

Выражение (13.110) позволяет утверждать, что декодирование по максимуму правдоподобия для канала с переменными параметрами состоит из вычисления метрики ребер в точности совпадающего с аналогичной процедурой в гауссовском канале, взвешивания метрики ребер и процедуры поиска пути по решетке соответствующего минимальной метрике

Из сказанного следует вывод, что отличие процедуры декодирования по максимуму правдоподобия в канале с переменными параметрами от декодирования СКК в гауссовском канале без памяти (см. гл. 5) состоит лишь во взвешивании метрики ребер. Это значит, в свою очередь, что сложность декодирования в канале с переменными параметрами практически совпадает со сложностью декодирования аналогичной ей СКК в гауссовском канале без памяти.

Взвешивание метрики ребер, состоящее в умножении их на отражает тот факт, что замирания «поглощают» часть евклидова расстояния между многомерными сигналами.

Если параметры канала известны неточно, то в (13.110) собственные значения заменяются на их оценки Эти оценки могут быть получены с помощью метода, описанного в разд. 13 3 и основанного на введении в сигнал зондирующих компонентов и двухмерной интерполяции Для идентификации канала достаточно занять неинформационными зондирующими компонентами одно и подмножеств

Таким образом, описанное разбиение частотно-временной матрицы на подмножества с независимыми компонентами и модификация алгоритма Витерби, состоящая во взвешивании метрики ребер, позволяют и делают (целесообразным применение в канале с переменными параметрами СККМ, полученных в гл. 12 для канала с постоянными и точно известными параметрами.