Глава 6. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛЬНО-КОДОВЫХ КОНСТРУКЦИИ

6.1. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ СКОРОСТИ ПЕРЕДАЧИ ОТ КВАДРАТА ЕВКЛИДОВА РАССТОЯНИЯ

Рассмотрим два различных класса зависимостей. В первом случае будут исследованы зависимости для произвольной СКК с фиксированным внутренним ансамблем сигналов

Словами являются слов вида Во втором случае СКК строится по обобщенному каскадному принципу и является конструкцией либо типа I, либо типа II. Естественно, что такое жесткое ограничение на построение СКК в виде каскадирования ансамбля сигналов и корректирующих кодов приводит к проигрышу по сравнению к произвольному выбору СКК среди слов Оценка величины этого проигрыша — одна из целей нашего исследования. В данном разделе СКК для первого случая будем называть произвольной, а для второго — каскадной. При этом понятно, что название «сигнальнокодовая» не отражает в полной мере свойств конструкции в первом варианте. В обоих случаях будем пользоваться методом вывода нижней границы Варшамова — Гилберта.

Утверждение 6.1. Существуют произвольные с внутренним ансамблем сигналов и нормировкой (2.9), для которых скорость передачи и квадрат евклидова расстояния также удовлетворяют нормировке (2.9) и связаны параметрическими соотношениями

где

где число типов сигналов ансамбля — число сигналов в ансамбле типа; —число составляющих спектра расстояний для сигналов типа; составляющая спектра расстояний для сигналов типа; -квадрат евклидова расстояния от сигнала типа до сигнала, соответствующего по порядку расстоянию; 0.

Приведем схему доказательства. Отметим, что для ансамбля двухмерных ФМ сигналов граница и доказательство приведены в [87]. Данные результаты являются обобщением [87] при

Как и при выводе границы Варшамова — Гилберта, для корректирующих кодов рассмотрим произвольное слово и некоторое слово По аналогии с [87] композицией назовем вектор из компонентов, компонент которого обозначает число позиций векторов у и у, в которых у вектора у имеется сигнал типа, а у вектора по спектру расстояний от этого сигнала. Тогда для

произвольного вектора и заданного вектора композиции введем множество векторов у:

Легко убедиться, что мощность этого множества, усредненная по всем векторам у,

Для векторов у и у квадрат расстояний между ними, усредненный по всем возможным векторам у,

Тогда для произвольного вектора у вычислим объем сферы радиуса по аналогии с [87]:

Теперь воспользуемся стандартным методом вывода границы Варшамова — Гилберта. Возьмем случайный вектор и удалим из все векторы, для которых затем возьмем произвольный вектор Этим методом можно получить СКК, для которой

Подставим (6.6) в (6.7), пренебрежем для членами и перейдем к иормализоваииому по вектору композиции Тогда получим

где максимизация проводится при условии

Максимизация второго члена правой части (6.8) при ограничениях (6.9) с помощью множителей Лагранжа дает (6.2).

Рис. 6.1 Зависимость скорости передачи от квадрата евклидова расстояния для произвольных СКК

Рис. 6.2 Зависимость скорости передачи от квадрата евклидова расстояния для каскадного кода над евклидовым пространством, образующим СКК

На рис. 6.1 показаны зависимости скорости передачи от квадрата евклидова расстояния для СКК, полученных с помощью некоторых ансамблей сигналов, параметры которых приведены на рис. 2.2 Кривые рассчитаны с использованием утверждения 6 1. Цифры у кривых соответствуют номерам ансамблей. Из рисунка видно, что оптимальный с точки зрения евклидова расстояния ансамбль сигналов дает максимум скорости СКК далеко не во всем диапазоне возможных квадратов евклидовых расстояний. Существуют значения где оптимальным является ансамбль ФМ сигналов. В качестве верхней границы евклидова расстояния можно использовать границу Кабатянского — Левенштейна (КЛ) [88].

Утверждение 6.2. Не существует произвольных СКК У с внутренним ансамблем сигналов размерности I с нормировкой (2.9), для которых скорость передачи превосходит величину

где

Кривые для границы показаны на рис. 6.1 штриховой линией .

Рассмотрим теперь каскадные СКК (CKKI и СККII).

Утверждение 6.3. Скорость передачи для CKKI и при условии, что все внешние коды длины для CKKI и

для находятся на границе Варшамова — Гилберта, вычисляется по формулам

Здесь граница Варшамова-Гилберта для -ичных кодов; вектор разбиений где квадрат евклидова расстояния вложенного ансамбля сигналов.

Доказательство утверждения 6.3 приводится в [19, 20, 81, 82].

Следует отметить принципиальное отличие между утверждениями 6.1 и 6.3. В первом утверждении выражение для скорости получается при фиксированном числе сигналов во внутреннем ансамбле с условием если Во втором утверждении находится максимум по при этом возможны ситуации, когда при

Утверждение 6.3 годится для любых внутренних кодов, однако результаты расчетов приведем лишь для кодов в На рис. 6.2 представлены некоторые результаты расчетов по формулам (6.11). Кривой 1 соответствует CKKI для КАМ при кривой 2 — СККII для КАМ при кривой 3 — CKKI для КАМ при ; кривой 4 — CKKI для КАМ при кривой 5 — CKKI при для ФМ и кривой 6 — СКП при для Точками показаны границы участков при ФМ и КАМ для CKKI и при КАМ для Кривые приведены только для векторов разбиений, максимизирующих (6.11). Видно, что при дает существенно лучшие результаты, чем CKKI при но худшие, чем при Естественно, что при вектор разбиений соответствует как CKKI, так и

На рис. 6.2 показаны также характеристики произвольной СКК для КАМ и ФМ при числе внутренних сигналов (кривые 7 и 8).

Отметим, что аналогичные границы для СКК с внешними сверточными кодами рассмотрены в [89, 90].

С целью уменьшения сложности декодирования СКК, как это было и при анализе OK-кодов, возможно рассмотрение трехмерных СКК, у которых каждый внутренний код также является СКК [81]. В этом случае с увеличением порядка OK-кода (СКК) характеристики трехмерной и двухмерной СКК существенно сближаются. На рис. 6.2 для примера приведена характеристика трехмерной СКК с внутренними кодами на базе при (кривые 9).