10.4. СИГНАЛЫ ДЛЯ КАНАЛА С МСИ, ОСНОВАННЫЕ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ ПРЕДЫСКАЖЕНИЙ И ОДНОГО АЛФАВИТА КАМ

Синтез конструкций с предыскажениями и одним алфавитом КАМ. Начнем рассмотрение конкретных сигналов, согласованных с каналом простейшей конструкции, основанной на использовании во всех параллельных каналах без памяти символов из одного и того же алфавита КАМ из ансамбля Очевидно, что для использования в параллельных каналах одного и того же алфавита КАМ необходимо, чтобы в этих каналах было одинаковое отношение сигнал-шум. Идея, лежащая в основе описанной ниже конструкции, состоит в том, что с помощью линейного предыскажения в передатчике выравнивается отношение сигнал-шум, а затем выбирается оптимальный алфавит КАМ и соответствующая ему доля параллельных каналов таким образом, чтобы обеспечить максимум скорости (102) [157, 161—164].

Утверждение 10.5. Преобразования на передаче и на приеме где Тк и определяются выражением (10.6); преобразуют гауссовский канал с МСИ в совокупность независимых одинаковых гауссовских каналов без памяти, входы и выходы которых связаны выражением

где соответственно вход и выход канала; комплексный гауссовский шум, компоненты которого независимы по а их действительные и мнимые части независимы и одинаково распределены .

Таким образом, предыскажение на передаче выравнивает отношение сигнал-шум во всех параллельных каналах и

обеспечивает возможность использования одного и того же алфавита КАМ. Сказанное иллюстрирует рис. 10.3, а и б.

Рассмотрим последовательность преобразований, которым подвергается передаваемое дискретное сообщение в передатчике и приемнике.

Поступающая от источника двоичная последовательность со скоростью разбивается на блоки, содержащие бит длительность сигнала вместе с защитным интервалом). Каждому блоку из бит передатчик ставит в соответствие сигнал состоящий из комплексных отсчетов и нулевых отсчетов защитного интервала; Для этого блок из бит разбивается на слов по бит, каждому из которых сигнальный кодер КАМ ставит в соответствие одну из букв из алфавита

Полученные символов передаются по параллельных каналов, удовлетворяющих (10.16). Ниже показано, что такими каналами должны быть те, которые соответствуют наибольшим сингулярным значениям

Обозначим множество номеров «активных» каналов Полученные на выходе кодера КАМ сигналы образуют компонентов вектора который подвергается предыскажению

прочие компоненты вектора полагаются равными нулю:

Вектор умножается на унитарную матрицу в результате чего получается сигнал, передаваемый в канал с МСИ:

На выходе канала с МСИ, удовлетворяющего (10.1), принятый сигнал умножается на матрицу

Заметим, что из следует (см. рис. 10.3).

Из компонентов удовлетворяющих (10.16), выделяются компонентов

которые поступают в сигнальный декодер КАМ (решающее устройство ставящее в соответствие слово из бит, которые, в свою очередь, объединяются в блок из бит и выдаются получателю.

Определение 10.8. Сигнальная конструкция с предыскажениями и одним алфавитом КАМ называется конструкцией

Анализ эффективности конструкции П-1. Скорость передачи максимальна, если символы во всех параллельных каналах независимы. Выберем в качестве алфавита КАМ один из ансамбля Будем считать, что используется оптимальный прием сигнала на выходе канала с МСИ в соответствии с утверждением 10.5.

Средняя вероятность ошибки в символе на выходе параллельного канала (определение 10.7) была обозначена Потребуем, чтобы во всех параллельных каналах выполнялось условие

В гл. 2 была приведена простая верхняя граница для вероятности ошибки в символе:

где минимальное расстояние между точками КАМ сигнала в параллельном канале; функция Лапласа.

Граница (10.18) для различных алфавитов КАМ из приведена на рис. 10.4. Для малых значений на рис. 10.4,а показаны также точные значения которые при практически совпадают с верхней границей.

Для выполнения условия (10.17) необходимо, чтобы

Пусть из параллельных каналов для передачи сообщений используется каналов, в каждом из которых передаются символы где -один и тот же для всех алфавит КАМ из ансамбля содержащий букв, лежащих на минимальном расстоянии

Средняя скорость, бит/изм., максимальна, когда все символы КАМ равновероятны:

С учетом предыскажения средняя мощность сигнала на входе канала представима в виде

Рис. 10.4 Характеристики ансамбля рис. 10 4, а сплошные кривые — точное значение, штриховые — верхняя граница) при малых значениях и больших (б)

где средняя мощность сигнала КАМ, определяемая для сигналов квадратной структуры выражением

Обозначим в (10.21)

где доля используемых («активных») каналов.

Монотонная функция минимальна при любом если сингулярные значения канала упорядочены

С учетом (10.21) — (10.24) ограничение на среднюю мощность сигнала на входе каналп принимает вид

Заменяя в (10.18) неравенство равенством, получаем

где функция, обратная функции Лапласа (функция ван-дер-Вардена).

Обозначив из (10.22) получаем

Ограничение (10.25) принимает при этом вид

Заменим в (10.26) неравенство равенством. Учитывая, что отношение сигнал-шум определено в виде получаем

Решая уравнение (10.27) относительно находим

где функция, обратная Подставляя (10.28) в (10 20), находим, что скорость, бит/изм.,

Как следует из (10.28) и (10.29), скорость зависит от отношения сигнал-шум, допустимой вероятности ошибки в символе длины защитного интервала и выбранного алфавита КАМ. Оптимизация описанного метода передачи заключается в выборе в выборе максимизирующего (10 29)

Утверждение 10.6. Максимальная скорость передачи, бит/изм., в гауссовском канале с МСИ при ограниченной величиной средней мощности сигнала на входе канала и вероятности ошибки в символе, не превосходящей величины при условии, что в из параллельных каналов с предыскажениями, удовлетворяющих (10.16), используется один и тот же алфавит буквами из семейства минимальным расстоянием А (конструкция определяется выражением

где определяется из (10.28), из (10 26); сингулярные значения матрицы канала с МСИ упорядочены:

Исследуем зависимость скорости конструкции П-1 (10.30) от отношения сигнал-шум для различных каналов с МСИ. Прежде всего необходимо отметить, что (10.30) представимо в виде

где

Это означает, что скорость представляет собой огибающую семейства кривых (10.31). Сказанное иллюстрируют рис. 10.5 и 10.6 соответственно для каналов № 9 и 10 (см. рис. 9.3) при На тех же графиках построена зависимость доли используемых каналов от отношения сигнал-шум:

Сравним приведенные на рисунках кривые с аналогичными для идеального канала без МСИ (рис. 10.7) также при . В последнем случае имеем так как для всех при этом:

При фиксированном в идеальном канале скорость растет до тех пор, пока увеличивается у. Как только у достигает 1,

Рис. 10.5 Конструкция П-1 в канале № 9 из табл 9.1

(кликните для просмотра скана)

скорость перестает зависеть от отношения сигнал-шум. Именно поэтому зависимость (10.34) для идеального канала имеет ступенчатый вид, связанный с переходом от алфавита к алфавиту Для каналов с МСИ зависимость (10.30) существенно более гладкая, что обусловлено характером функции (10.32), так как в каналах с сильными искажениями достигается только при больших отношениях сигнал-шум, а в некорректируемых каналах каковыми являются каналы № 9 и 10 на рис. 9.3, вообще не достигается при конечных отношениях сигнал-шум.

Из сказанного следует, что конструкция П-1 обеспечивает согласование с каналом с МСИ за счет выбора сигнального алфавита и доли используемых параллельных каналов 71. Иначе говоря, полезная мощность сигнала сосредоточивается в «хороших» каналах без памяти, соответствующих наибольшим а в «плохих» полезный сигнал вообще не передается. Граница между «хорошими» и «плохими» каналами без памяти определяется выражением (10.32) и, как видно из графиков рис. 10.5 и 10.6, существенно зависит от отношений сигнал-шум.

На рис. 10.8-10.16 приведены зависимость скорости конструкции П-1 от отношения сигнал-шум для всех десяти каналов, приведенных на рис. 9.3, при На тех же графиках показана аналогичная зависимость для идеального канала а для каналов № 2, 5, 6, 8, 9, 10 (см. табл. 9.1) даны отдельные точки, соответствующие традиционной передаче по каналу с МСИ и приему по максимуму правдоподобия с помощью алгоритма Витерби (см. разд. 9.). Все результаты получены в предположении, что т. е.

Как следует из этих рисунков, конструкция П-1 весьма эффективна в области относительно низких с остей и отношений сигнал-шум, особенно в плохо корректируемых каналах. С увеличением отношения сигнал-шум проигрыш конструкции П-1 идеальному каналу быстро возрастает. Если сравнить конструкцию П-1 с традиционной передачей и декодером Витерби на приеме, то при низких конструкция П-1 близка по помехоустойчивости, а в ряде каналов превосходит последнюю, однако с увеличением отношения сигнал-шум начинает проигрывать декодеру Витерби.

На рис. 10.17 представлены качественные зависимости средней мощности сигнала на входах и выходах параллельных каналов от их номера. Характерной особенностью конструкции П-1 является то, что количество информации, передаваемое во всех «активных»

Рис. 10.8. Характеристики сигналов в канале № 1 из табл. 9.1

каналах, одинаково, так как средняя мощность на их входе может весьма сильно различаться, что обусловлено различием сингулярных значений Специфической особенностью конструкции П-1 и вместе с тем ее недостатком является то, что при больших отношениях сигнал-шум полезная мощность не сосредоточивается в «хороших» каналах, соответствующих большим а перекачивается в относительно «плохие» каналы, соответствующие малым

Рис. 10.9 Характеристики сигналов в канале № 2 из табл 9.1

Рис. 10.10 Характеристики сигналов в канале № 3 из табл 9.1

Рис. 10.11 Характеристики сигналов в канале № 4 из табл 9.1

Рис. 10.12 Характеристики сигналов в каналах № 5 и 6 из табл. 9.1

Рис. 10.13 Характеристики сигналов в канале № 7 из табл 9.1

Рис. 10.14 Характеристики сигналов в канале № 8 из табл. 9.1

Рис. 10.15. Характеристики сигналов в канале № 9 из табл. 9.1

Рис. 10.16. Характеристики сигналов в жанале № табл. 9.1

Рис. 10.17. Распределение мощности сигнала на входе (а) и выходе (б) канала для конструкции П-1

Из сказанного следует, что конструкция П-1 эффективна при низких отношениях сигнал-шум в каналах с большими искажениями АЧХ, в которых эта конструкция обеспечивает сосредоточение мощности полезного сигнала в «хороших» параллельных каналах, соответствующих наибольшим сингулярным значениям матрицы канала с

Сложность и задержка конструкции П-1. В заключение анализа конструкции отметим, что ее сложность определяется следующими преобразованиями:

предыскажение на передаче комплексных умножений); умножение на матрицу комплексных умножений); умножение на матрицу комплексных умножений). Используя ту же меру сложности, что и в разд. 9.2 (число комплексных умножений на один отсчет сигнала в канале), приходим к следующему утверждению.

Утверждение 10.7. Сложность конструкции П-1 с преобразованиями на передаче и на приеме а задержка ограничена снизу где длительность тактового интервала; длина блока вместе с защитным интервалом.

При оценке сложности не принимались во внимание операции в кодере и решающем устройстве КАМ (см. разд. 10.3 и [160]). В разд. 10.7 показана возможность радикального уменьшения сложности конструкции П-1 за счет замены ортогональных преобразований в передатчике и приемнике.