Глава 12. СИГНАЛЬНО-КОДОВЫЕ КОНСТРУКЦИИ ДЛЯ ГАУССОВСКИХ КАНАЛОВ С МСИ

12.1. СИНТЕЗ СИГНАЛЬНО-КОДОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ ДЛЯ ГАУССОВСКИХ КАНАЛОВ С МСИ

Исследуем возможности построения СКК для гауссовского нала с МСИ, причем будем рассматривать только канал с циклической сверткой. Возможность такого упрощения в достаточной степени обоснована в гл. 10 и 11. Описанные ниже СКК основаны на результатах синтеза и анализа этих конструкций, приведенных в гл. 4—7. Целью синтеза, как и выше, является получение выигрыша либо в скорости передачи, либо в помехоустойчивости по сравнению с безызбыточными сигналами для гауссовского канала с МСИ, описанными в гл. 10, т. е. приближение к потенциальным характеристикам канала с МСИ, полученным в гл. 11 [182—184].

Определение 12.1. Под сигнально-кодовой конструкцией для гауссовского канала с МСИ (СККМ) будем понимать множество -мерных сигналов, в котором каждый элемент получен путем объединения по заданному правилу двухмерных сигналов в каждом из независимых каналов без памяти (10.49), эквивалентных каналу с циклической сверткой (10.48). Двухмерные сигналы на входах всех каналов без памяти принадлежат алфавитам Из всех возможных сигналов разрешенными для передачи являются -мерных сигналов, причем Все разрешенные сигналы являются точками в Д-мерном евклидовом пространстве, в котором различным группам по измерений соответствуют различные масштабирующие коэффициенты (см. (10.49)).

За счет оптимальной расстановки точек в таком евклидовом пространстве удается максимизировать квадрат нормированного по средней мощности сигнала на входе канала минимального евклидова расстояния между сигналами СККМ.

Так же, как и в гл. 4—7, объединение сигналов КАМ в СККМ будем осуществлять с помощью блочных кодов (обобщение на сверточные коды сомнения не вызывает). При этом исследуем

два крайних случая кодирования, которые условно будем называть «временным» и «частотным».

При временном кодировании СККМ является объединением для каждого из каналов без памяти, параметры которых будем обозначать где размерность СКК для канала без памяти; - число разрешенных сигналов этой СКК; - квадрат минимального евклидова расстояния Квадрат минимального евклидова расстояния канала, как и СККМ, будем нормировать по соответствующей средней мощности сигнала на входе канала подобно (2.9). Параметры выражаются в виде

где число «активных» каналов; средняя мощность на входе канала с средняя мощность на входе канала без памяти. Здесь, как всегда ранее, предполагается, что независимые каналы без памяти (10.49) упорядочены по убыванию собственных значений канала с циклической сверткой:

Из (12.1) следует, что для максимизации скорости передачи необходимо выбрать СКК в каждом из независимых каналов с одинаковым евклидовым расстоянием, не нормированным по мощности на входе канала с МСИ. При этом, зная параметры СКК для каждого независимого канала и имея в виду (12.1), можно оценивать параметры СККМ, в том числе и при дополнительных ограничениях (варианты 2—6, см. гл. 11).

При частотном кодировании является объединением ( активных) двухмерных сигналов КАМ, передаваемых в различных независимых каналах без памяти. Это значит, что -мерные блоки сигнала, передаваемые по каналу с МСИ, являются взаимно независимыми подобно тому, как это имеет место при использовании безызбыточных сигнальных конструкций П-1 и описанных в гл. 10. Ниже будут рассмотрены характеристики СККМ при дополнительных ограничениях, соответствующих вариантам 2 и 4 (см. гл. 11), так как они непосредственно связаны с упомянутыми сигнальными конструкциями.

Синтез временной СККМ. Заметим, что временная СККМ не зависит от способа получения полунепрерывных каналов (варианты 2—6, см. гл. 11), а зависит только от параметров самих полунепрерывных каналов Строить канала без памяти, как и в гл. 4, будем с помощью обобщенных каскадных кодов.

Систему двухмерных сигналов КАМ кратности состоящую из 21 точек сигнальной плоскости) можно разбивать с помощью шагов. На каждом шаге, ансамбль сигналов, состоящий из точек, разбивается на равных подмножеств целое). Обозначим через вектор разбиений. Каждому шагу разб иения сопоставляется двоичный вектор Царь Тогда всему сигналу соответствует вектор где отображает вложенную систему, причем отображение ведется кодом Грея.

В гл. 4 показано, что для такой вложенной системы сигналов нормированный квадрат минимального евклидова расстояния на шаге равен где определено в (10.22).

Для построения временной СКК в канале необходимо также внешних блочных кодов, где длина кода; число информационных символов; минимальное расстояние по Хэммингу, Тогда на основании утверждения 4.2 и (12.1) справедливо следующее утверждение.

Утверждение 12.1. Скорость временной СКК для построенной на основе системы вложенных КАМ сигналов с векторами разбиений и отображением в двоичные векторы кодом Грея, а также внешних блочных кодов, определяется выражением

а квадрат минимального евклидова расстояния определяется выражением

Синтез «частотной» СККМ. При «частотном» способе образования СКК для ГКМСИ сам алгоритм построения СКК существенно зависит от варианта организации полунепрерывных каналов. В вариантах 3 и 5 (см. гл. 11) получаются каналы с различным евклидовым расстоянием, но объединенные одним корректирующим кодом. В то же время при синтезе СКК с внешними корректирующими кодами целесообразно для всех символов внешнего кода иметь внутренние коды (сигналы) с одинаковым расстоянием, поэтому использовать СКК на основе OK-кодов для вариантов 3 и 5 нецелесообразно. Для вариантов 2 и 6 все

каналы получаются с одинаковым минимальным евклидовым расстоянием между КАМ сигналами. Следовательно, для этих вариантой построение СКК мало отличается от случая одного ГКБП, подробно рассмотренного в гл. 4.

Наиболее интересным и нетривиальным является построение «частотной» СКК для варианта 4, связанного с безызбыточной конструкцией Построим СКК также в виде OK-кода. Она отличается от рассмотренной в гл. 4 тем, что входящие в нее сигналы имеют различную кратность. Для простоты будем рассматривать лишь систему вложенных сигналов, соответствующих вектору разбиений Система КАМ-сигналов кратности разбивается с помощью шагов. На каждом шаге, ансамбль сигналов, состоящий из точек, разбивается на два равных подмножества. Вектор соответствует каждой точке сигнального множества,

Внешние коды СКК имеют различную длину. Первый внешний код объединяет все сигналы СКК, так как символы первого внешнего кода задают разбиение сигналов АФМ кратности на первом шаге вложенности. Второй внешний код объединяет сигналы СКК кратности 2 и более, так как только в этих сигналах имеется разбиение на втором шаге вложенности, и т. д. Всего имеется внешних кодов вида (здесь для простоты считаем

На основе свойств СКК, описанных в гл. 4 и (11.24) — (11.28), получаем следующее утверждение.

Утверждение 12.2. Скорость частотной СКК (вариант 4, см. гл. 11), построенной на основе системы вложенных сигналов КАМ вектором разбиений и тривиальным отображением в двоичные векторы, а также внешних кодов определяется выражением

а квадрат минимального евклидова расстояния

где определено в (10.65), а в

Очевидно также следующее утверждение.

Утверждение 12.3. Скорость частотной СККМ (вариант 2, см. гл. 11), построенной на основе системы вложенных сигналов КАМ с вектором разбиений и тривиальным

отображением в двоичные векторы, а также внешних кодов определяется выражением

а квадрат минимального евклидова расстояния

Алгоритм кодирования СККМ. Опишем алгоритм кодирования временной СККМ:

1. Задаем информационных слов вида

2. Кодируем эти слова соответствующими внешними кодами и получаем слова вида

3. Группируем эти слова в матрицах

4. Каждый столбец матрицы отображаем в соответствующий по времени сигнал канала без памяти . В результате получаем векторов сигналов на входе канала вида каждый. Сигналы с индексами равны нулю.

5. Далее применяем один из вариантов 2—6 передачи по каналу с МСИ из гл. 11.

Опишем теперь алгоритм кодирования частотной СККМ:

1. Задаем информационных слов вида

2. Кодируем эти слова соответствующими внешними кодами и получаем слова вида

3. В результате получаем матрицу слов внешних кодов вида

где вектор из нулей,

В каждую строку матрицы слева добавлено слово отражающее «пустых» каналов (в которых отсутствует передача).

4. Каждый столбец матрицы отображаем в сигнал канала без памяти . В результате получаем вектор сигналов на входе канала вида Сигналы с индексами равны нулю.

5. Далее применяем вариант 4 передачи по каналу с МСИ (см. гл. 11).

Для вариантов 2,6 алгоритм кодирования аналогичный. Алгоритм декодирования СККМ. Рассмотрим сначала «жесткое» декодирование СККМ. (Декодирование по максимуму правдоподобия (мягкое) описано применительно к конкретным СККМ в разд. 12.3.) Это декодирование основано на алгоритме Фнмп для канала без памяти (см. разд. 5.2).

Рассмотрим сначала алгоритм декодирования для временной СККМ.

Алгоритм декодирования Фнмп принятой из канала связи СККМ состоит из 2 шагов и распадается на групп по шагов, которые в принципе могут осуществляться независимо. Каждую группу из шагов будем называть алгоритмом декодирования Рассмотрим алгоритм На каждом шаге выполняются процедуры демодуляции и декодирования.

На шаге обработке подлежит принятая последовательность во времени двухмерных сигналов. Каждый сигнал демодулируется в полном ансамбле сигналов КАМ кратности после

чего определяется принятая последовательность символов первого внешнего кода . В результате декодирования первым внешним кодом получаем информационное слово также кодовую последовательность Перед переходом ко второму шагу необходимо определить ансамбль сигналов КАМ кратности Для этого из исходного ансамбля сигналов КАМ выбрасываем все сигналы, для которых их отображение не соответствует декодированному символу внешнего кода.

На всех остальных шагах действуем аналогично.

Алгоритм декодирования Рнмп, принятого из канала слова частотной СККМ, состоит из шагов На шаге обработке подлежит принятая из параллельных каналов последовательность двухмерных сигналов Каждый сигнал демодулируется в полном ансамбле сигналов КАМ кратности и определяется принятая последовательность первого внешнего кода В результате декодирования первым внешним кодом получаем информационное слово (и кодовое ). Перед переходом ко второму шагу для сигналов кратности два и более определяем ансамбль сигналов КАМ кратности так же, как и для временной СККМ.

На всех остальных шагах действуем аналогично.

Декодирование частотной СККМ для варианта 2 (с одним ансамблем сигналов КАМ) является частным случаем описанного алгоритма для варианта 4 и полностью совпадает с декодированием СКК для гауссовского канала без памяти, описанным в разд 5.2

Из рассмотренных алгоритмов кодирования и декодирования СККМ следует, что временной способ кодирования существенно проигрывает частотному с точки зрения задержки раз). Кроме того, он подразумевает наличие параллельных декодеров СКК. Исходя из изложенного исследуем характеристики временной СКК, чтобы выяснить, насколько отступление от такого способа (частотное кодирование) проигрывает ему по помехоустойчивости и скорости