10.6. РЕАЛИЗАЦИЯ СИГНАЛОВ ДЛЯ КАНАЛОВ С МСИ ПОСРЕДСТВОМ ЭФФЕКТИВНЫХ МЕТОДОВ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

Постановка задачи уменьшения сложности реализации сигналов для каналов с МСИ. Описанные выше конструкции сигналов для каналов с МСИ являются весьма эффективными с точки зрения помехоустойчивости, поскольку они превосходят лучший из традиционных методов передачи (алгоритм Витерби). Это преимущество основано на учете в конструкции сигнала специфики конкретного канала с МСИ, что, в свою очередь, становится возможным вследствие замены исходного канала с МСИ (10.1) совокупностью эквивалентных ему каналов без памяти (10.15). Как показано в разд. 10.2, эта декомпозиция построена на использовании ортогональных матриц и Указанные матрицы являются единственными и дают наилучший из возможных результатов. Однако именно с ними связана сложность практической реализации эффективных конструкций для канала с МСИ. Причины этого состоят в следующем:

1. Для реализации строго эквивалентного преобразования канала с в параллельные каналы без памяти (10.15) необходимо точное знание на передающей и приемной сторонах весовой последовательности канала, которая позволила бы вычислить матрицы и и сингулярные значения Даже при весьма малом изменении декомпозиция становится невозможной, так как нарушается ортогональность векторов переносчиков, описанных в разд. 10.2, и выходы параллельных каналов перестают быть независимыми и интерферируют неортогональности. Это означает, что при любом изменении необходимо обновление в передатчике и в приемнике. Учитывая сложность вычисления собственных значений и собственных векторов, выполнение указанных операций в реальном времени представляется весьма проблематичным.

2. Умножения на матрицы и соответственно в передатчике и приемнике определяют сложность разработанных конструкций сигналов для каналов с МСИ, оцениваемую числом комплексных умножений на один отсчет сигнала в канале где длины блока. Способы уменьшения сложности, т. е. «быстрые алгоритмы», для таких матриц неизвестны.

Из сказанного следует необходимость отыскания такого преобразования канала с МСИ в совокупность независимых параллельных каналов без памяти, которое, с одной стороны, было бы инвариантным (не зависящим от канала) и, с другой стороны, допускало бы применение «быстрых» алгоритмов цифровой обработки сигналов, т. е. имело сложность, меньшую, чем

Искомое преобразование в силу отличия его от описанного в разд. 10.3, которое является единственным, не может обеспечить строгую эквивалентность в смысле определения 10.4.

Преобразование апериодической свертки в канале с МСИ в циклическую. Выражение (10.1), связывающее вход и выход канала с МСИ, соответствует апериодической свертке последовательности отсчетов на входе канала с весовой последовательностью (подробнее см. гл. 8). Существенное упрощение преобразования канала с МСИ в совокупность независимых каналов без памяти может быть достигнуто, если в выражении (10 1) апериодическую свертку заменить циклической [131, 170, 161 — 1631.

Заменим -мерный вектор сигнала на входе канала с МСИ N-мерным; где длина защитного интервала, по правилу

Здесь матрица блочной структуры:

где единичные матрицы соответственно

Как следует из (10.41) и (10.42), первых компонентов вектора совпадают с последними компонентами вектора Сигнал (10.41) передается по каналу с МСИ, на выходе которого имеем

Здесь матрица апериодической свертки

имеет размер Выделим на приеме компонентов вектора (10.43), начиная с компоненты (рис. 10.19):

где

Рис. 10.19. Циклическое удлинение блока на передаче (а) и приеме (б)

Здесь нулевые матрицы соответственно

С учетом (10.41) — (10.45) получаем

Непосредственной подстановкой (10.42) и (10.45) убеждаемся в справедливости следующего утверждения.

Утверждение 10.12. Матрица циркулянт вида

Из утверждения 10.12 следует, что

где выделенный в приемнике вектор шума.

Утверждение 10.13. Периодическое продолжение вектора сигнала на передаче на компонентов, где длина весовой последовательности канала, и выделение на приеме компонентов вектора начиная с компонента, преобразует канал с МСИ с апериодической сверткой (10.1) в канал с циклической сверткой, вход и выход которого связаны выражением (10.48).

Передача последовательности блоков изображена на рис. 10.20. Длина защитного интервала, как и ранее, должна удовлетворять неравенству Блоки сигнала на выходе канала перекрываются при этом в защитных интервалах, но -мерные блоки, задаваемые выражением (10.44) и выделяемые на приеме, между собой не перекрываются и их преобразования в канале могут рассматриваться для каждого блока в отдельности. Это

Рис. 10.20 Преобразование апериодической свертки в циклическую для последовательности блоков. а — на передаче, б - на приеме, в — после преобразования

значит, что преобразование апериодической свертки в циклическую не увеличивает потерь в скорости передачи, связанных с введением защитных интервалов (утверждение 10 13). Вместе с тем это преобразование непрехменно сопряжено с потерей части энергии полезного сигнала в защитных интервалах, так как операция состоит в отбрасывании отсчетов сигнала на выходе канала, попадающих в защитные интервалы между блоками.

Очевидно следующее утверждение.

Утверждение 10.14. Средняя мощность сигнала теряемая при выделении вектора на выходе канала, ограничена где с — константа, зависящая от средней мощности сигнала на выходе канала.

Из утверждения следует, что доля мощности, теряемой в защитных интервалах, может быть сделана сколь угодно малой.

Определение 10.10. Гауссовским каналом с циклической сверткой называется канал с МСИ, вход и выход которого связаны выражением (10.48).

Преобразование канала с циклической сверткой в совокупность параллельных независимых каналов без памяти. Основные свойства циркулянта, определяющего канал с циклической сверткой, сформулированы в утверждении 9.12. Последнее позволяет доказать следующее принципиально важное утверждение.

Утверждение 10.15. Канал с циклической сверткой, вход и выход которого связаны выражением (10.48), эквивалентен

параллельным независимым гауссовским каналам без памяти, входы и выходы которых связаны выражением

где независимые по комплексные гауссовские случайные величины, действительные и мнимые части которых независимы и одинаково распределены собственные значения циркулянта

Доказательство. Представим циркулянт в виде

где матрица ДПФ (см. гл. 9); вектор сигнала на входе канала

а вектор шума

Множитель обеспечивает то, что преобразование с матрицей не изменяет евклидову норму.

Подставим (10.50) - (10.52) в (10.48):

Умножим (10.53) слева Учитывая, что имеем

где Переписывая (10.54) по компонентам, получаем

Поскольку гауссовский вектор с независимыми комплексными одинаково распределенными компонентами то также гауссовский вектор с независимыми комплексными одинаково распределенными компонентами

Параллельные каналы, эквивалентные каналу с циклической сверткой, изображены на рис. 10.21. Последовательность преобразования канала с МСИ сначала в канал с циклической

Рис. 10.21. Независимые гауссовокие каналы без памяти, эквивалентные каналу с циклической сверткой

Рис. 10.22 Преобразование гауссовского канала с МСИ в совокупность независимых гауссовских каналов без памяти с помощью ДПФ

сверткой, а затем в совокупность параллельных независимых каналов без памяти (10.55) показана на рис. 10.22.

Преобразование канала с циклической сверткой в совокупность независимых одинаковых каналов без памяти с помощью предыскажения и коррекции. Рассмотрим далее преобразование канала с циклической сверткой в одинаковые каналы, подобные (10 16). Для этого воспользуемся предыскажениями, похожими на те, которые описаны в разд. 10.4.

Пусть Положим, что собственные значения упорядочены: и для всех

где и связаны выражением (10.55);

Назовем с, коэффициентами предыскажения в передатчике, а коэффициентами коррекции в частотной области в приемнике. Тогда из (10.55) следует

где Ьгех. Поскольку умножение комплексной гауссовской случайной величины с независимыми и одинаково распределенными действительной и мнимой частями на поворачивающий множитель не изменяет статистики шума, то вместо обозначения будем использовать Имеем

Утверждение 10.16. Предыскажение на передаче (10.56) и коррекция на приеме (10.57) преобразуют гауссовские каналы без

Рис. 10.23. Предыскажения в независимых гауссовских каналах без памяти (а), эквивалентных каналу с циклической сверткой (б)

памяти (10.55), эквивалентные каналу с циклической сверткой (10.48), в совокупность одинаковых независимых гауссовских каналов без памяти (10.60).

Каналы с предыскажением и коррекцией, эквивалентные каналу с циклической сверткой, изображены на рис. 10.23.

Утверждение 10.16 является предпосылкой для использования в канале с циклической сверткой сигнальных конструкций П-1 и описанных в разд. 10.4 и 10.5.

Сложность реализации преобразования канала с циклической сверткой в параллельные каналы без памяти. Описанная выше процедура преобразования канала с циклической сверткой в параллельные каналы без памяти позволяет преодолеть оба недостатка, свойственные аналогичному преобразованию для канала с МСИ.

Во-первых, преобразование канала с циклической сверткой является инвариантным, т. е. не зависит от весовой последовательности канала. Это связано с тем, что любой циркулянт приводится к диагональному виду с помощью ДПФ (см. утверждение 9.12), в то время, как преобразования матриц и определяющие сингулярное разложение матрицы канала с МСИ (10 6), зависят от или, что то же самое, от матрицы К.

Дискретное преобразование Фурье позволяет превратить любой канал с циклической сверткой в каналы (10.55). От зависит преобразование канала с МСИ в канал с циклической сверткой, причем зависит не от значений а лишь от длины Для длины периодического продолжения (длины защитного интервала) это преобразование также одинаково для любых каналов, весовые последовательности которых не длиннее защитного интервала.

Во-вторых, преобразования могут быть выполнены с помощью «быстрых» алгоритмов, хорошо известных для ДПФ [143, 146]. Эти алгоритмы принято называть алгоритмами быстрого преобразования Фурье (БПФ). Для оценки сложности, так же как и в гл. 9, предположим, что используется наиболее широко применяемый на практике, хотя и не самый «быстрый» алгоритм Кули—Тьюки [144]. Для его

выполнения, т. е. для умножения матрицы или на комплексный вектор длины требуется

комплексных умножений, Из этого следует утверждение 10.17.

Утверждение 10.17. Сложность преобразования канала с МСИ в совокупность независимых каналов без памяти с помощью ДПФ, вычисляемого с использованием алгоритма Кули — Тьюки,

Таким образом, преобразование каналов с МСИ в канал с циклической сверткой позволило существенно упростить реализацию рассмотренного в разд. 10.2 преобразования гауссовского канала с МСИ в совокупность гауссовских каналов без памяти за счет резкого уменьшения объема априорных сведений о канале, так как на передаче достаточно лишь знания длины импульсной реакции и АЧХ канала, и уменьшения сложности, которое позволило применить стандартные для цифровой обработки сигналов «быстрые» алгоритмы, широко используемые на практике в программном и аппаратном вариантах [144, 146].

Реализация конструкций П-1 и П-Q с помощью ДПФ. При рассмотрении реализации сигнальных конструкций П-1 и описанных в разд. 10.4 и 10.5, следует обратить внимание на два обстоятельства: на особенности алгоритмов преобразования передаваемого сообщения в передатчике и приемнике и на изменение характеристик этих конструкций, связанное с заменой оптимальных ортогональных преобразований и на ДПФ. Выражения для конструкции П-1 принимают вид:

1) скорость, бит/изм.,

где все величины те же, что и в (10.30), за исключением функции которая обратна функции

и является аналогом Здесь

2) средняя мощность сигнала на входе канала

Отличие (10.66) от (10.26) заключается в коэффициенте учитывающем мощность сигнала в защитных интервалах.

зость при при определяется близостью значений функций Свойства этих функций связаны с тем, что первая из них зависит от собственных значений теплицевой матрицы гл 9), а вторая — от собственных значений функции где циркулянт (10.47). Свойства таких матриц подробно исследованы в гл. 9, а их асимптотические характеристики функций типа при основаны на фундаментальном свойстве теплицевых форм, исследованных в [173]. В частности,

причем для монотонно убывающих в интервале функций этот предел определяется выражением

где передаточная функция канала с МСИ в полосе Найквиста Скорость сходимости функций к пределу такова, что при различиями между ними следует пренебречь

Аналогичный результат справедлив и для конструкции Скорость в этом случае определяется как решение вариационной задачи

Из сказанного выше следует, что при больших практически совпадает с (10 39).

Из приведенных рассуждений можно заключить, что замена оптимальных преобразований матриц и на ДПФ практически не приводит к изменению характеристик конструкций что связано с асимптотическими свойствами теплицевых матриц Вместе с тем эта замена позволяет радикально уменьшить сложность цифровой обработки в передатчике и приемнике