11.2. АНАЛИЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК КАНАЛА С МСИ

Пропускная способность канала с МСИ [180]. Определение 11.1. Пропускной способностью гауссовского канала с МСИ, вход и выход которого связаны выражением

называется максимум взаимной информации между входом и выходом канала по всем распределениям удовлетворяющим ограничению на среднюю мощность сигнала на входе канала:

Полученный ниже результат представляет собой частный случай пропускной способности векторного канала, исследованного Б. С. Цыбаковым [179, 181].

Утверждение 11.1. Если мощность гауссовского шума на выходе канала (11.1) равна а средняя мощность сигнала на входе канала (11.2) не превосходит величины то пропускная способность этого канала, сингулярные значения матрицы К которого упорядочены: определяется выражениями

где доля «активных» параллельных каналов, определяемая как наибольшее число, при котором

при всех длина защитного интервала между блоками

Доказательство приведено в [180, 182].

В разд 10.6 было показано, что канал с МСИ может быть преобразован в совокупность параллельных каналов без памяти с помощью не только оптимальных преобразований матриц но и инвариантных преобразований, включающих замену канала с МСИ каналом с циклической сверткой и ДПФ

Определение 112 Пропускной способностью гауссовского канала с циклической сверткой (определение 10.10), вход и выход которого связаны выражением

называется максимум взаимной информации между входом и выходом канала по всем распределениям вектора удовлетворяющим ограничению на среднюю мощность сигнала на входе канала

Утверждение 11.2. Если мощность гауссовского шума на выходе канала с циклической сверткой равна а средняя мощность сигнала на его входе ограничена величиной то пропускная способность при условии, что собственные значения матрицы канала упорядочены: определяется выражением

где наибольшее число, при котором

при всех

При канал с МСИ и канал с циклической сверткой обращаются в гауссовский канал дискретного времени, на входе которого будет стационарная случайная последовательность а на выходе — стационарная случайная последовательность связанная с входной последовательностью выражением

где не зависящие от стационарная гауссовская последовательность, компоненты которой независимы по к, а компоненты и также независимы и одинаково распределены

Ограничение на среднюю мощность входного сигнала имеет вид где спектральная плотность -

Пропускная способность такого канала [181]

где определяется из уравнения

Асимптотический результат связан с асимптотическими свойствами собственных значений тёплицевых матриц [173].

Учитывая асимптотические по свойства каналов с МСИ и каналов с циклической сверткой, описанные выше, в дальнейшем будет рассматриваться только канал с циклической сверткой, поскольку он представляет наибольший интерес с точки зрения практической реализации. В качестве примера рассмотрим зависимость пропускной способности от отношения сигнал-шум для десяти каналов (см. рис. 9.3), изображенную на рис. На этих же рисунках показана пропускная способность идеального канала

Сравнение (11.5) с (11.7) свидетельствует о том, что МСИ весьма сильно влияет на пропускную способность. Если говорить более точно, то на пропускную способность влияет АЧХ канала дискретного времени . В каналах с малыми искажениями АЧХ, например в каналах № 1—3 (см. рис. 9.3), тогда как в каналах с сильными искажениями, т. е. плохо корректируемых,

Каналы с МСИ и дополнительными ограничениями на входе. Введем дополнительные ограничения на входе канала с циклической сверткой (11.4), связанные с реализацией СКК для канала с МСИ на основе СКК для гауссовского канала без памяти, исследованных в гл. 4—7. Эти ограничения вызваны прежде всего тем, что в качестве внутренней ступени СКК для каналов без памяти будут использованы «простые» сигналы КАМ из ансамбля также предыскажения, превращающие каналы с

циклической сверткой в совокупность одинаковых параллельных каналов без памяти. Ниже рассмотрены различные варианты комбинаций этих двух дополнительных условий [182].

Определение 11.3. Пропускная способность преобразованного с учетом дополнительных ограничений канала называется его максимальной скоростью.

Во всех приведенных ниже рассуждениях будем считать, что собственные значения матрицы канала с циклической сверткой упорядочены:

Вариант 1. Пусть матрицы канала с циклической сверткой такова, что . Введем в параллельных каналах, эквивалентных каналу с циклической сверткой, предыскажения

Имеем одинаковых параллельных каналов, входы и выходы Которых связаны выражением

Утверждение 11.3. Максимальная скорость в гауссовском канале с циклической сверткой при условии, что в каждом параллельном канале используется предыскажение (11.8) и средние мощности на входах параллельных каналов одинаковы, определяется выражением

где максимально допустимая средняя мощность на входе канала.

Зависимость от обсуждается ниже.

Вариант 2. Введем дополнительное ограничение. Пусть все входы каналов (11.9) принадлежат какому-либо алфавиту КАМ из ансамбля «5 При этом непрерывные по значению каналы (11.9) заменяются полунепрерывными, т. е. каналами с дискретным входом для всех «активных» каналов и непрерывным выходом.

Пусть на входах из одинаковых параллельных каналов действует сигнал КАМ средней мощностью

где А — минимальное расстояние между сигналами число букв в алфавите вероятности использования букв алфавита Средняя мощность на входе канала с циклической сверткой

где

Максимальная скорость передачи в каждом из одинаковых параллельных каналов определяется пропускной способностью полунепрерывного гауссовского канала, которая была подробно исследована Унгербеком [92]. Поскольку все каналов одинаковы, максимальная скорость, достижимая в канале с циклической сверткой с предыскажениями и одним и тем же алфавитом КАМ в каждом параллельном канале,

скорость представима в виде

где отношение сигнал-шум в каждом канале (11.9), а с учетом (11.12)

где, как и выше, .

Согласно [92] есть пропускная способность полунепрерывного гауссовского канала без памяти (11.9), вход которого представляет собой буквы

Здесь вероятность использования буквы с номером из алфавита — условная переходная плотность вероятности комплексного гауссовского канала (11.9):

Дискретная случайная величина имеет вероятность использования значения вероятностей, доставляющие максимум функционалу в правой части (11.16).

Поскольку ансамбль сигналов КАМ фиксирован то из (11.16) и (11.17) следует, что (11.16) зависит только от минимального евклидова расстояния А в алфавитах КАМ, числа точек I и мощности шума Наконец, являясь огибающей семейства зависит только от Зависимости для различных полученные Унгербеком, приведены на рис. 11.1.

Рис. 11.1 Пропускная способность 1 полунепрерывного канала

Утверждение 114 Максимальная скорость, достижимая в гауссовском канале с циклической сверткой, предыскажениями в параллельных каналах без памяти и одним и тем же алфавитом КАМ с одинаковым расстоянием из этих каналов, определяется выражением

где определяется (11 16) и (11 17),

Пусть оптимальное значение 7 Тогда отношение сигнал шум в одинаковых каналах без памяти (119) По зависимости (11 14) определяются оптимальное значение I, оптимальное расстояние А между сигналами и вероятности использования букв

Скорость представляет предельно достижимую (потенциальную) скорость, к которой может стремиться скорость кон струкции при объединении последней с СКК для канала без памяти

Вариант 3. Рассмотрим следующий вариант дополнительных ограничений на входе канала с циклической сверткой, отличаю щейся от предыдущего тем, что используется не один алфавит КАМ, а произвольное число алфавитов Как и ранее, предполагаем, что собственные значения циклической матрицы канала упорядочены

Средняя мощность сигнала на входе канала с учетом пре дыскажения равна

где

— средняя мощность сигнала КАМ из алфавита принадлежащего ансамблю с миннимальным расстоянием А, и вероятностями использования букв доставляющими

максимум (11.16). С учетом (11.19) средняя мощность сигнала на входе канала с циклической сверткой

где

Сумхмарная скорость имеет вид

где как и ранее, огибающая (11.14) семейства функций

Утверждение 11.5. Максимальная скорость, достижимая в канале с циклической сверткой с предыскажениями и произвольными алфавитами КАМ из семейства на входах одинаковых параллельных каналов без памяти, определяется выражением

при ограничении (11.21).

В результате решения вариационной задачи, сформулированной в утверждении 11.5, получается оптимальное распределение мощности по параллельным каналам, обеспечивающее максимум скорости передачи. Одновременно функция задает алфавит минимальное расстояние А, и вероятности использования

Зависимость скорости от отношения сигнал-шум обсуждается ниже.

Вариант 4. Следующий вариант занимает промежуточное положение между вариантами 2 и 3. Рассмотрим случай, когда в параллельных каналах с предыскажениями используются различные алфавиты КАМ, но с одним и тем же минимальным расстоянием А, которое от номера канала не зависит. Легко заметить связь этого варианта с конструкцией рассмотренной в разд. 10.5

Пусть некоторое разбиение последовательности номеров параллельных каналов. Положим, что в каналах с номерами используется алфавит КАМ семейства причем Поскольку собственные значения упорядочены это означает, что алфавит КАМ с большим числом букв используется в параллельном канале, соответствующем большему собственному значению.

Средняя мощность на входе параллельного канала имеет вид

где средняя мощность на входе параллельного канала без памяти (11.9):

С учетом (11.24) и (11.25) средняя мощность на выходе канала с циклической сверткой

Поскольку

где получаем

Максимальная скорость в каждом параллельном канале определяется при фиксированном в соответствии с (11.16) и (11.17):

где вероятности букв, максимизирующие

Суммарная скорость в канале с циклической сверткой

Оптимизация этого варианта по скорости при ограниченной средней мощности сигнала на входе канала сводится к выбору оптимального разбиения параллельных каналов на группы с одинаковыми алфавитами КАМ, т. е. с одинаковой скоростью в каждом параллельном канале группы, и оптимальному выбору алфавитов КАМ, состоящему в определении минимального расстояния числа букв в алфавите и вероятностей использования букв каждого алфавита

Утверждение 11.6. Максимальная скорость в канале с циклической сверткой, предыскажениями и произвольными алфавитами КАМ из ансамбля в каждом из параллельных каналов без памяти при условии, что минимальное расстояние во всех алфавитах одинаково и равно А, задается выражением

три ограничениях доставляет максимум (11.16).

Выражение (11.31) представляет собой теоретический предел скорости построенных на основе сигнальной конструкции

Характеристики варианта 4 также обсуждаются ниже.

Вариант 5. Следующий вариант ограничений в канале с циклической сверткой, равно как и вариант 6, не включает предискажений на передаче. Это значит, что рассматриваются параллельные каналы, входы и выходы которых связаны выражением

Допустим, что во всех каналах (11.32) используется один и тот же алфавит но с различными минимальными расстояниями А, и одинаковыми распределениями При этом средняя мощность на входе каждого параллельного канала (11.32)

С учетом (11.33) средняя мощность на входе канала с циклической сверткой

Из (11.33) получаем максимальную скорость в каждом параллельном канале

где - распределение букв алфавита максимизирующее (11.16). В этом случае суммарная скорость во всех параллельных каналах

Для максимизации (11.36) необходимо оптимально выбрать при ограничении (11.34).

Утверждение 11.7. Максимальная скорость, достижимая в гауссовском канале с циклической сверткой при условии, что в каждом из параллельных каналов без памяти, входы и выходы которых связаны выражением (11.32), используется алфавит из ансамбля минимальным расстоянием определяется выражением

при ограничении доставляет максимум (11.16).

Рассмотренная комбинация ограничений является более «жесткой», чем в варианте 4, поскольку используется один алфавит КАМ В этом смысле данный вариант подобен варианту 2, однако допускает более гибкое распределение мощности полезного сигнала по параллельным каналам.

Вариант 6. В заключение рассмотрим наиболее «жесткий» вариант дополнительных ограничений в каналах с циклической сверткой, состоящий в следующем. Пусть из параллельных каналов, без предыскажений (1132) используется параллельных каналов, причем в каждом из них один и тот же алфавит из ансамбля с минимальным расстоянием А, которое от номера канала не зависит В этом случае средняя мощность на входе каждого параллельного канала

Средняя мощность на входе канала с циклической сверткой

где, как и ранее Из (11.39) следует выражение для суммарной скорости передачи

где Максимум (1140) обеспечивается выбором алфавита и относительной доли используемых («активных») параллельных каналов у.

Утверждение 11.8. Максимальная скорость, достижимая в гауссовском канале с циклической сверткой при условии, что в из параллельных каналов без памяти без предыскажений используется один и тот же алфавит из ансамбля с минимальным расстоянием А, которое от номера канала не зависит, определяется выражением

Обсуждение зависимостей максимальной скорости от для шести вариантов дополнительных ограничений. На рис. 11.2, а и б соответственно для каналов № 9 и 10 (см. рис 9 3) представлены зависимости пропускной способности и максимальной скорости для вариантов 1—6 от отношения сигнал-шум. Анализ этих

Рис. 11.2 Потенциальные характеристики каналов № 9 (а) и 10 (б) из табл 9.1

кривых показывает, что максимальная скорость для варианта 3 практически совпадает с пропускной способностью, что объясняется близостью функции т. е. пропускной способности полунепрерывного канала без памяти, к Сид (см рис. 11.1). Максимальная скорость для варианта чуть меньше, чем однако величина проигрыша, который объясняется ступенчатой аппроксимацией оптимального распределения мощности, не превышает 0,2... 0,3 дБ. Этот результат говорит о том, что именно сигнальная конструкция соответствующая ограничениям варианта 4, наиболее перспективна при реализации СКК для канала с МСИ. Максимальная скорость для варианта 2 близка к и заметно меньше поскольку этот вариант является более «жестким» Он соответствует конструкции П-1 и по сути дела сводится к полунепрерывному каналу без памяти с уменьшенными в у раз скоростью и раз отношением сигнал-шум. Остальные характеристики занимают промежуточное положение.

На тех же графиках приведены зависимости скорости от отношения сигнал шум для конструкций и П-1 при Эти зависимости существенно проигрывают соответствующим им максимальным скоростям что говорит о больших ресурсах кодирования в таких каналах.