14.5. СИНТЕЗ СИГНАЛЬНО-КОДОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ ДЛЯ СИСТЕМ С КОДОВЫМ РАЗДЕЛЕНИЕМ И МНОГОФАЗНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ

Теперь перейдем к рассмотрению СКК в системе с КМ-МФМ, описанной в разд 14 2, где для простоты классифицировали системы как КР-МФМ и КР-МЧМ. На самом деле, в первом случае подразумевается наличие специального канала для передачи последовательности прыжков по частоте (или эта последовательность задается псевдослучайным генератором), а во втором случае последовательность прыжков определяется суммой относительно короткого адреса и случайной информации Исходя из этого в данном разделе приведем результаты для КР-ФМ2, но аналогичные результаты можно получить и для КР-ЧМ2

В [215] подробно рассмотрена помехоустойчивость различных СКК при отсутствии помех от других абонентов и рэлеевских замираний при КР-ЧМ2. Приведем обобщение этих результатов для того случая, когда кроме полосовой помехи и теплового шума присутствуют рэлеевские замирания и помехи от других абонентов при КР-ФМ2. Если на каждой частоте передается один символ и используется жесткое решение без оценки канала, то вероятность ошибки декодирования можно так же, как и в гл 3, определить по формулам (3.43) (3.55) для средней вероятности ошибки Надо лишь осуществить максимизацию по числу помеховых частотных позиций при фиксированном отношении сигнал-помеха Вероятность ошибки в символе на входе декодера может быть вычислена по (14 13).

Отметим, что данный канал очень похож на канал Гилберта — Эллиота, описанный в предыдущем разделе Отличие состоит в том, что число состояний больше двух, и эти состояния независимы. Возможна и трактовка канала как имеющего два входа и восемь выходов. Отсюда следует и возможность вычисления вероятности ошибки декодирования по методике, аналогичной разд. 14 3.

На рис. 14 3 приведены зависимости вероятности ошибки в бите от отношения сигнал-помеха на бит для случая оптимального при числе частотных позиций и отношения сигнал-шум При расчетах полагалось отсутствие помех от других абонентов Кривой 1 соответствует отсутствие кодирования, 2 — трехкратное повторение, 3 — исправление ошибок кодом Голея (23, 12), 4 — исправление ошибок двойным кодом (127, 36), 5 — каскадный код с внутренним двоичным (15, 5, 7) и внешним РС ( при исправлении ошибок обоими кодами, 6 — каскадный код с внутренним сверточным с и внешним РС (31, 15, 17) 32, где внутренний код декодируется по максимуму правдоподобия в канале с жестким решением Величина вычисляется по формуле где -скорость кода

На рис. 14.4 приведены зависимости достижимого отношения сигнал-помеха на бит от числа мешающих абонентов для Все остальные параметры соответствуют рис. 14.3. Несмотря на далеко не оптимальные алгоритмы декодирования, видны существенные преимущества кодирования в таких каналах (энергетические выигрыши составляют десятки децибел) Кроме того, видны

Рис. 14.3 Зависимость вероятности ошибки в бите при жестком декодировании от отношения сигнал-помеха на бит для оптимального в системе КР-ФМ2

Рис. 14.4. Зависимость достижимого отношения сигнал-помеха на бит при жестком декодировании от числа активных абонентов в сети в системе КР-ФМ2

большие выигрыши каскадных кодов по сравнению со всеми другими алгоритмами декодирования.

Чтобы исследовать, насколько хорошими могут оказаться различные оптимальные и субоитимальные алгоритмы декодирования, рассмотрим подробно более простой случай, когда отсутствуют рэлеевские замирания и Передача ведется каскадным кодом со скачками частоты между словами внутреннего кода Будем считать, что число частот доля пораженного помехой диапазона частот

С учетом вышесказанного рассмотрим модель канала, включающую устройство скачкообразного изменения частоты и устройство снятия скачков Если на входе устройства скачкообразного изменения частоты действует сигнал соответствующий слову внутреннего кода то на выходе устройства снятия скачков имеем сигнал

где - случайная величина, принимающая значения 1 с вероятностью и 0 с вероятностью Величины и -отсчеты белого гауссовского шума с односторонней спектральной плотностью соответственно

Декодер внутреннего кода на основе принятого слова (сигнала X) выдает мягкое решение в виде отношений правдоподобия (см. гл. 2), которые в данном случае имеют вид

где

На вход декодера мягких решений подается слово Декодер принимает решение о том, какое из кодовых слов передавалось.

Декодер максимального правдоподобия принимает решение о том кодовом слове, для которого максимально скалярное произведение (14 44)

Вероятность того, что кодовое слово не будет декодировано правильно, может быть оценена аддитивной границей (3 44), которая принимает вид [216]

где — энергия сигнала

Возможны в данном случае и алгоритмы МЕР (минимум евклидова или обобщенного расстояния по Форни) [50] Алгоритмы МЕР в общем виде описаны в разд. 5 2 Упорядочивание символов слова происходит по отношениям прав доподобия (14 44) Вероятность ошибки может быть определена по формуле [216]

где вероятность того, что в порожденном множестве кодовых слов нет переданного слова, вероятность того, что кодовое слово не будет декоди ровано правильно при условии, что в порожденном множестве оно есть

Величина может быть оценена с помощью достаточно простого моделирования, не требующего реализации функций кодера и декодера, а с помощью аддитивной границы, подобной (14 15) В результате можно сделать вывод о том, что если при декодировании вырабатывается небольшое число кодовых слов, то вероятность пренебрежимо мала по сравнению с независимо от используемой метрики

Дальнейшим упрощением является реализация алгоритма МЕР с неполным числом попыток (начиная от стираний) В дальнейшем будем называть такой алгоритм усеченным МЕР Частным случаем такого алгоритма является алгоритм в одну попытку с оптимальным числом стираний Возможны различные способы реализации этого алгоритма, например с помощью перестановочного декодирования или по процедуре Берлекэмпа [216]

На рис 14 5 приводятся зависимости отношения сигнал помеха на бит от доли диапазона, пораженного полосовой помехой (для каскадного кода с внутренним ортогональным кодом с числом сигналов и внешним РС (31, 15, 17) -кодом) Рассматривался случай отсутствия гауссовского шума и вероятности ошибки в слове Кривой 1 соответствует аддитивная оценка (14 45), кривой 2 — декодирование по МЕР, 3 - усеченное декодирование по МЕР (три попытки), 4 — исправление ошибок и стираний, 5 — исправление ошибок, 6 — исправление 16 стираний Кривые 1, 4, 5 получены расчетным путем, остальные — моделированием

Результаты расчетов показывают, что возможны весьма несложные алгоритмы декодирования, помехоустойчивость при которых оказывается близкой к помехоустойчивости при (гауссовский канал) В таком канале может быть применено вероятностное мажоритарное декодирование недвоичных внешних кодов, описанное в разд 5 3 Преимуществом этого алгоритма является возможность реализации достаточно простой оптимальной оценки канала Не будем описывать сам алгоритм декодирования Он легко получается модификацией (5.14)

Рис. 14.5 Зависимость отношения сигнал-помеха на бит от долн диапазона, пораженного помехой, для внешнего кода в системе КР-ФМ2

Рис. 14.6 Зависимость вероятности ошибки в -ичном символе от отношения сигнал-помеха на бит при оптимальном мажоритарном декодировании с оценкой помехи в системе КР-ФМ2

Вероятность ошибки в ичном символе может быть вычислена по формуле (5 31) На основе формулы (5 32) можно определить

Подставив (14 47), (14 47) в (5 31), продифференцировав по и приравняв нулю, получим нелинейное уравнение относительно неизвестной Здесь энергия передаваемого сигнала на одни бит информации при Численно решая полученное уравнение на ЭВМ, получаем для распределения помехи

что имеет смысл при в противном случае [217]

Подставив (14 49) в (14 47), (14 48), найдем, что для наихудшей помехи с

Значения коэффициентов Для некоторых мажоритарных кодов приведены в табл 14 2

На рис. 14.6 приведены зависимости вероятности ошибки в -ичном символе от отношения сигнал помеха на бит для оптимального мажоритарного декодирования. Номера кривых соответствуют номерам кодов по табл 14.2 Расчет

Таблица 14.2 (см. скан)

проводился для внутреннего ортогонального кода с при Видно, что мажоритарные коды хотя и несколько проигрывают кодам но обладают достаточно высокими характеристиками