10.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГАУССОВСКОГО КАНАЛА С МСИ В СОВОКУПНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ГАУССОВСКИХ КАНАЛОВ БЕЗ ПАМЯТИ

Заменим канал с МСИ, вход и выход которого связаны выражением (10.1), эквивалентным ему каналом без МСИ [155—159].

Определение 10.4. Канал А эквивалентен каналу если вход канала А взаимно однозначно связан с входом канала а выход канала А также взаимно однозначно связан с выходом канала

Напомним, что гауссовским каналом без памяти называется канал, вход и выход которого связаны выражением

Здесь х и у - соответственно вход и выход канала; а — некоторая константа; не зависящий от аддитивный гауссовский шум: независимы и одинаково распределены

Утверждение 10.1. Гауссовский канал с МСИ, удовлетворяющий (10.1), эквивалентен независимым гауссовским каналам без памяти, входы и выходы которых связаны выражением

где не зависимые по комплексные гауссовские случайные

величины, действительные и мнимые части которых независимы и одинаково распределены сингулярные значения матрицы канала К (собственные значения матрицы К).

Доказательство. Представим матрицу канала с МСИ с помощью сингулярного разложения [133]:

Здесь матрица где — -мерные ортогональные векторы, компоненты которых образуют столбцы матрицы где символ Кронекера; унитарная матрица где - N-мерные ортогональные векторы, компоненты которых образуют столбцы матрицы диагональная матрица: числа являются сингулярными значениями матрицы К, они совпадают с собственными значениями матрицы К и ненулевыми собственными значениями матрицы Поскольку (см. разд. 9.3), то для всех

Представим вектор сигнала на входе канала в виде

а вектор шума в виде

где проекция вектора шума на подпространство, натянутое на векторы

— ортогональное дополнение:

где ортогональные векторы; для всех

Подставив (10.6) — (10.8) в (10.1), имеем

Умножим (10.10) слева на Учитывая, что единичная матрица, имеем

где обозначено

Поскольку ортогональное дополнение вектора шума не зависит от преобразование на выходе канала не разрушает информацию о передаваемом сообщении и можно считать, что При этом условии преобразование (10 12) взаимно однозначно.

Поскольку компоненты вектора шума независимые комплексные гауссовские случайные величины, то компоненты вектора определяемые выражением

также независимые комплексные гауссовские случайные величины, распределение которых совпадает с распределением компонент вектора

Переписывая (10 11) по компонентам, получаем

что завершает доказательство утверждения.

Схема преобразования гауссовского канала с МСИ в совокупность независимых гауссовских каналов без памяти приведена на рис. 10.1. В передатчике вектор сообщения подвергается унитарному преобразованию и полученный сигнал поступает в канал В приемнике принятый сигнал подвергается преобразованию с матрицей имеющей ортонормированные столбцы . В результате на выходе эквивалентного канала, изображенного на рис 10 2, получается сигнал

Сказанное допускает также иную интерпретацию Представим вектор сигнала на входе канала в виде

Рис. 10.1 Преобразование гауссовского канала с МСИ

Рис. 10.2 Независимые гауссовские каналы без памяти

где компоненты вектора Подставим (10.13) в (10.1) с учетом того, что

поскольку и являются соответственно правыми и левыми собственными векторами матрицы К. Имеем

В выражениях заключены суть описанных выше преобразований и основная идея, используемая для синтеза сигналов, наилучшим образом согласованных с каналом с МСИ. Из (10.13) следует, что сигнал на входе канала представляет собой линейную комбинацию ортогональных векторов переносчиков «промодулированных» символами передаваемого сообщения Из (10.14) следует, что в отсутствие шума сигнал на выходе канала также представляет собой линейную комбинацию ортогональных векторов т. е. при передаче по каналу с -мерные векторы превращаются в -мерные векторы но ортогональность не нарушается.

Для выделения переданных символов из сигнала (10.14) достаточно воспользоваться корреляционным приемником, вычисляющим скалярные произведения

Независимые гауссовские каналы без памяти, входы и выходы которых связаны выражением

могут сильно отличаться один от другого по отношению сигнал-шум. Из этого следует, что оптимальные сигналы должны не только обеспечивать ортогональность на выходе канала, но и учитывать различие эквивалентных одномерных каналов (10.15). Последнее обстоятельство проявляется в описанных ниже оптимальных и субоптимальных сигналах в том, что, во-первых, для передачи сообщений используются наилучшие, т. е. соответствующие наибольшим независимые каналы без памяти и, во-вторых, в оптимальном распределении полезной мощности сигнала по параллельным каналам.