9.2. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЕМ СИГНАЛОВ В КАНАЛАХ С МСИ

Алгоритмы оптимального приемника. Приемник (декодер) вычисляет по наблюдению на выходе гауссовского канала с МСИ

оценку которая должна принадлежать множеству содержащему и переданный сигнал

Определение 9.1. Оптимальным приемником (приемником в целом) называется приемник, обеспечивающий минимум средней входному ансамблю вероятности ошибки:

где мощность множества (число сигналов ); — априорные вероятности сигналов; - условная вероятность ошибки при передаче сигнала

Как показано в [2], оптимальный прием, минимизирующий (9.2), эквивалентен приемнику, максимизирующему апостериорную вероятность.

Утверждение 9.1. Прием по минимуму средней вероятности ошибки эквивалентен приему по правилу

Из (9.3), пользуясь формулой Байеса получаем [2]

где условная плотность вероятностей выходного сигнала (9.1) при заданном входном сигнале.

Определение 9.2. Приемником максимального правдоподобия называется приемник, обеспечивающий максимум условной (переходной) плотности вероятности канала:

Во всех дальнейших рассуждениях будем считать, что все сигналы равновероятны:

При условии (9.6) правила решения (9.5) и (9.4) или (9.3) совпадают.

Утверждение 9.2. При условии (9.6) приемник максимального правдоподобия обеспечивает минимум средней вероятности ошибки (9 2). Именно поэтому ниже под оптимальным приемником понимается приемник максимального правдоподобия.

Утверждение 9.3. В гауссовском канале с МСИ (определение 8.11), вход и выход которого связаны выражением (9.1), правило приема по максимуму правдоподобия имеет вид

где евклидова норма.

Утверждение следует из выражений (8.28) и (8.29) для условных плотностей вероятностей действительной и мнимой частей при заданном

Правило приема по минимуму евклидова расстояния (9.7) обеспечивает минимум средней вероятности ошибки в гауссовском канале с МСИ. Рассмотрим качественные отличия правила (9.7) от аналогичного правила для канала без :

Пусть компоненты вектора независимы, равновероятны и принадлежат одному и тому же алфавиту, например ансамблю КАМ, рассмотренному в гл. 2: для всех Тогда правило (9.8) распадается на совокупность правил решения для КАМ-сигналов или, иначе говоря, сводится к независимому поэлементному приему:

Межсимвольная интерференция приводит к тому, что компоненты вектора на выходе канала не независимы и (9.7) не представимо в виде совокупности одномерных (комплексных) правил решения (9.9).

Для оценки сложности оптимального приемника (приемника в целом) предположим, что все компоненты вектора принадлежат алфавиту КАМ, содержащему символов (букв), где скорость, -коэффициент, учитывающий введение защитных интервалов между блоками.

Сложность приемника определяется числом арифметических операций на один декодированный символ. Из (9.7) следует утверждение 9.4.

Утверждение 9.4. Сложность приемника максимального правдоподобия в гауссовском канале с МСИ

Сложность приемника максимального правдоподобия в идеальном гауссовском канале без МСИ

Исключительно высокая сложность приемника максимального правдоподобия (9.10), естественно, вызывает необходимость рассмотрения иных подходов к приему сигналов в каналах с МСИ. Один из этих путей описан в разд 9.3. Это линейный приемник, который состоит из матричного корректора

и решающего устройства, работающего по правилу (9.9). Сложность такого приемника, как показано ниже,

несоизмеримо меньше (9.10), однако коррекция сигнала (9 12) приводит к увеличению мощности шума на входе решающего устройства. В каналах со значительными искажениями АЧХ линейная коррекция приводит к недопустимому снижению помехоустойчивости.

Второй путь состоит в использовании правила (9.7), однако при условии такой его модификации, что сложность становится существенно ниже, чем (9 10). Реализацию правила приема по максимуму правдоподобие (9.7), учитывающую специфику матрицы канала К как матрицы дискретной апериодической свертки последовательности с весовой последовательностью принято называть алгоритмом Витерби [112, 1, 147] В соответствии с моделью гауссовского канала дискретного времени

где выходной сигнал фильтра, изображенного на рис. 8.1. В случае, когда входные сигналы независимы по к и принадлежат алфавиту из букв, фильтр, входящий в модель канала дискретного времени, представляет собой конечный автомат с состояниями, определяемыми символами хранимыми в фильтре Сдвиг на один такт последовательности в регистре фильтра приводит к переходу в следующее состояние.

Переходы из состояния в состояние определяются текущим символом откуда следует, что из данного состояния автомат может перейти в I состояний на следующем такте. Поставим в соответствие последовательности последовательность состояний Для каждого существует состояний, которые могут быть представлены решетчатой диаграммой с состояниями в

Рис. 9.1 Модель канала с весовой последовательностью длины 2

Рис. 9.2 Решетчатая диаграмма для канала с весовой последовательностью длины 2 и двоичным входом

каждом вертикальном сечении. Пусть Конечный автомат, соответствующий этому примеру, приведен на рис. 9.1, а решетчатая диаграмма — на рис. 9.2.

Евклидово расстояние, входящее в оптимальное решающее правило (9.7), записывается с учетом (9.14) в виде

где - сигнал на выходе конечного автомата, соответствующий переходу из состояния в состояние

Из (9.7) и (9.15) следует, что прием по максимуму правдоподобия сводится к поиску кратчайшего пути по решетке, пример которой показан на рис. 9 2 Метриками ребер являются величины где пробегают значения, соответствующие связанным между собой вершинам сечений решетки. Алгоритм Витерби поиска кратчайшего пути подробно описано в разд. 5.1, а применительно к рассматриваемому случаю — в [112, 147, 1].

Утверждение 9.5. Алгоритм Витерби обеспечивает оптимальный прием в гауссовском канале с МСИ, если символы на входе гауссовского канала с МСИ независимы, равновероятны и принадлежат конечному алфавиту

В дальнейшем будем называть оптимальный приемник для канала с МСИ декодером Витерби.

Число арифметических операций, необходимых для декодирования одного символа, определяется числом операций в одном сечении решетки, которое в свою очередь содержит вычисление метрик ребет для всех возможных переходов из состояния в

состояние, сравнений -ичных) и продолжение выживших путей. Из этого следует утверждение 9.6.

Утверждение 9.6. Сложность декодера Витерби в гауссовском канале с МСИ

При сложность алгоритма Витерби существенно меньше (9.10), однако экспоненциальная зависимость сложности от скорости и памяти канала приводит к тому, что в том виде, как он описан, алгоритм Витерби на практике не применяется. В литературе рассмотрены следующие подходы к уменьшению сложности декодера Витерби:

уменьшение памяти канала с помощью предварительной линейной коррекции, мало искажающей АЧХ канала [148, 149];

сокращенный перебор наиболее вероятных путей по решетке, в том числе основанный на описанном в гл. 2 разбиении ансамбля сигналов на вложенные подмножества [150, 151, 121];

комбинация двух упомянутых выше способов [153, 154, 121].

Сложность приемника при этом уменьшается, однако не очень существенно. Это значит, что она продолжает оставаться намного большей, чем сложность линейного корректора Важно подчеркнуть, что если декодер Витерби строго оптимален в рассматриваемом канале в смысле определения 9.1, то названные методы уменьшения сложности приводят к потерям в помехоустойчивости [150, 152, 121].

Помехоустойчивость оптимального приемника в гауссовском канале с МСИ. Из приведенных рассуждений очевидно, что помехоустойчивость оптимального приемника, под которой будем понимать среднюю вероятность ошибки (9 2) при заданном отношении сигнал-шум, определяется спектром расстояний между сигналами на выходе канала. Поскольку матрица канала не является унитарной, то расстояния на выходе канала не совпадают с расстояниями на входе:

Деформация спектра расстояний в канале с МСИ является причиной того, что оценка вероятности ошибки на выходе оптимального приемника представляет собой весьма сложную задачу. Известный результат [112] представляет собой границы для вероятности ошибки в случае, когда символы независимы, равновероятны и принадлежат конечному алфавиту буквами:

где константы, зависящие только от алфавита мощность аддитивного белого гауссовского шума: функция Лапласа; минимальное евклидово расстояние между сигналами на выходе канала:

Расчет вероятности ошибки на выходе оптимального приемника, как правило, весьма сложен из-за сложности оценки минимального расстояния (9.18). Аналитические оценки для получены только для некоторых частных случаев [112].

Выберем в качестве примеров десять каналов с МСИ, весовые последовательности и АЧХ которых приведены на рис. 9.3. Для иллюстрации свойств оптимального приемника воспользуемся результатами моделирования декодера Витерби, приведенными в [150, 152] для каналов . Результаты приведены в табл. 9.1 в виде проигрыша в отношении сигнал-шум идеальному каналу без МСИ. В той же таблице приведены аналогичные величины для линейного корректора, рассмотренного ниже, и для корректора с обратной связью по решению Все результаты приведены в децибелах для вероятности ошибки . Из табл. 9.1 видно, что декодер Витерби превосходит по помехоустойчивости другие приемники. Вместе с тем из этой таблицы следует, что даже оптимальный приемник приводит в плохо корректируемых каналах к серьезным потерям в помехоустойчивости. Весьма характерным является также увеличение проигрыша при возрастании скорости передачи. Основная причина этого эффекта состоит в несогласованности системы сигналов с каналом, иначе

Таблица 9.1 (см. скан)

(кликните для просмотра скана)

Рис. 9.3. Окончание

говоря, на вход канала с МСИ, деформирующего пространство сигналов, поступает сигнал, не учитывающий этой деформации.

Приведенные в данном разделе сведения используются ниже для сравнения по сложности и помехоустойчивости с сигналами и приемниками, лучше согласованными с каналом, чем описанные.