2.4. ПОСТРОЕНИЕ ВЛОЖЕННЫХ АНСАМБЛЕЙ СИГНАЛОВ

Построение вложенных ансамблей сигналов составляет основу рассматриваемых ниже СКК. Скажем, что ансамбль сигналов (код над евклидовым пространством представляет собой ансамбль сигналов (код) [19]

где если

причем для любого является ансамблем сигналов По индукции скажем, что ансамбль сигналов является ансамблем сигналов

где если имеет место (2.27), причем для любого будет ансамблем сигналов

Условимся, что в ансамбле сигналов все сигналов перенумерованы некоторым фиксированным образом. Эта нумерация естественным образом индуцирует нумерацию ансамбля Если сигнал имеет номер то положим, что имеет номер Такой сигнал будем обозначать

Такое определение вложенных ансамблей сигналов наиболее общее и включает все необходимые нам случаи. Рассмотрим несколько конкретных примеров.

Пример 2.2 Пусть имеется ансамбль сигналов сигналов (ФМК) Он естественным образом раскладывается на вложенных подансамблей На каждом шаге разбиения точки соответствующего подансамбля берутся через одну Тогда подансамбль имеет следующие параметры

На рис 2.6 для иллюстрации показано разбиение на вложенные подансамбли ансамбля сигналов

Пример 2.3. Пусть имеется ансамбль сигналов КАМ из сигналов Он также естественным образом разбивается на вложенных подансамблей Пусть на шаге разбиения имеется ансамбль сигналов ( — четное) Тогда один из двух вложенных подансамблей получаем следующим образом Во всех четных строках берем нечетные слева сигналы, а в нечетных строках — четные Второй ансамбль состоит из оставшихся сигналов. Следующий шаг вложенности можно получить, если оставить в ансамбле только четные или только нечетные строки Тогда подансамбль имеет следующие параметры

На рис. 2.7 для иллюстрации показано разбиение ансамбля сигналов КАМ 16 на вложенные подансамбли.

Рис. 2.6 Разбиение ансамбля сигналов ФМ8 на вложенные подансамбли

Рис. 2.7. Разбиение ансамбля сигналов КАМ16 на вложенные подансамбли

Пример 2.4. Рассмотрим ансамбль сигналов, полученный объединением двух независимых ансамблей ФМ4. Обозначим его При разбиении этого ансамбля на два подансамбля имеем два ансамбля Велти (см. рис. 2.5). Квадрат минимального расстояния увеличивается при этом вдвое.

На рис. 2.8 проиллюстрировано разбиение ансамбля на вложенные за четыре шага.

Следует отметить, что объединение любых ансамблей сигналов -ансамбль сигналов разбивается на вложенные за шагов. Однако не все шаги в этом случае обеспечивают прирост евклидова расстояния. Существуют методы (описаны в следующих главах), позволяющие найти параметры таких вложенных ансамблей. Кроме того, эти параметры могут быть определены перебором.

На рис. 2.9 показана зависимость квадрата минимального евклидова расстояния от номера вложенного ансамбля сигналов, найденная путем перебора [20]; а — для исходных ансамблей ансамблей при параметре показанном цифрами у кривых.

Возможны также регулярные методы построения вложенных ансамблей сигналов, основанные на вложенных решетках.

Как известно, произвольная решетка размерности характеризуется квадратом минимального евклидова расстояния и объемом не пересекающейся с другими (максимальным) сферы

(кликните для просмотра скана)

Рис. 2.9. Зависимость квадрата минимального евклидова расстояния от номера вложенного ансамбля сигналов для исходного ансамбля:

вокруг каждого сигнала (или, что эквивалентно, плотностью решетки [15]. Например, для решетки Подрешетка индуцирует разбиение решетки на смежных классов, где порядок разбиения. Тогда является группой классов эквивалентности по модулю и имеет порядок Из геометрических соображений следует (в случае двоичных сигналов По аналогии с [15] можно ввести понятие сигнального выигрыша решетки

Величина для решетки Формула (2.31) не учитывает нормировки (2.9) за счет выбора конечного множества сигналов из бесконечной решетки.

Воспользуемся также понятием оператора поворота который преобразует решетку в решетку с параметрами следовательно, Применяя оператор дважды, получаем так как оператор

Пример 2.5. Пусть имеется двумерная решетка целых чисел Тогда существует бесконечная цепь разбиений с квадратами расстояний Эта цепочка разбиений задает разбиение сигналов при произвольном из примера 2 3 Для этого надо ограничить число точек в исходной решетке величиной и провести нормировку расстояния (2 9) При четном в качестве исходной берется решетка , а при нечетном —

Более того, для произвольной решетки можно получить цепочку разбиений с квадратами расстояний Рассмотрим Тогда существует цепочка разбиений с квадратами расстояний

Величину будем называть глубиной решетки Тогда существует цепочка разбиений с квадратами расстояний

Пример четырехмерном пространстве является разбиением порядка 2 с квадратами расстояний 1/2 В восьмимерном пространстве есть цепочка разбиений с порядками 2, 23, 2, 23 и квадратами расстояний 1/2/4/4/4 В -мерном пространстве является цепочкой разбиений с порядками 2, 24, 27, 2, 24, 27 и квадратами расстояний 1/2/4/8/8/8/8 В -мерном пространстве есть цепочка разбиений с порядками и квадратами расстояний 1/2/4/8/16/16/16/16/16

В [15] показаны методы генерации произвольной решетки с использованием разбиений Эти методы существенно связаны с построением каскадных СКК, которые будут рассмотрены ниже.

Глубиной решетки будем называть глубину решетки равную если т. е. подрешетка с тем же минимальным расстоянием. В табл. 2.3 приводятся разбиения глубины и порядка до

На основе приведенных в табл. 2.3 разбиений решеток можно строить большое число вложенных ансамблей сигналов КАМ. При этом в случае конечного следует проводить нормировку, т. е. изменять линейные размеры ортов решетки, пока не начнет выполняться условие (2.9). Необходимо, чтобы условие (2.9) выполнялось и для любого вложенного подансамбля.

Условие нормировки (2.9) можно рассмотреть и непосредственно для случая фиксированной решетки и подрешетки порядка т. е. [21].

Пусть имеется ансамбль сигналов из точек, построенный следующим образом. Выбираем произвольную точку решетки и проводим вокруг нее сферу с минимально возможным радиусом но чтобы она содержала не менее точек из каждого смежного класса Тогда справедливо [21].

Утверждение 2.1. При числе сигналов расстояние ансамбля сигналов полученного из решетки

Следствие 2.1. При числе сигналов расстояние ансамбля сигналов полученного из решетки определяется выражением

Для построения СКК нам понадобится еще одно свойство ансамблей сигналов. Пусть имеется разбиение ансамбля сигналов

Таблица 2.3 (см. скан)

Здесь будем трактовать как двоичные векторы и пусть хэммингово расстояние между двоичными векторами (число позиций, в которых они различны). Тогда разбиение удовлетворяет следующему свойству:

Из (2.34) видно, что важным является не только разбиение ансамблей сигналов на вложенные подансамбли, но и важна нумерация этих подансамблей. Нумерация часто называется манипуляционным кодом и выбирается из разных соображений, в том числе для минимизации вероятности ошибки. Манипуляционные коды детально исследованы в [22]. Наиболее известным и часто применяемым манипуляционным кодом является код Грея, при котором для сигналов, находящихся на минимальном евклидовом расстоянии, манипуляционные коды различаются на единицу. Легко увидеть, что в данном случае выполняется (2.34).

Рис. 2.10 Примеры различных манипуляционных кодов для ансамблей сигналов

Существуют коды Грея для ансамблей сигналов при произвольном при произвольном и четном к.

Пример 2 7. На рис. 2 10 показаны примеры манипуляционного кода Грея для ансамбля сигналов и разбиения ансамбля сигналов КАМ16 на четыре ансамбля сигналов КАМ4 В случае в манипуляционный код Грея используется на каждом из двух шагов разбиения Сигналы одного подансамбля обозначены одинаково Видно, что правые два символа отображают сигналы внутри одного подансамбля кодом Грея, а левые два символа — разные подансамбли кодом Грея.

В заключение раздела отметим еще одно свойство сигналов. В нормировке (2.9) участвуют вероятности каждого сигнала До сих пор их всегда считали одинаковыми. Даже при равновероятных (например, двоичных) символах источника можно, придав разную длину нумерующим последовательностям, сделать сигналы разновероятными. При этом сигналы с большей энергией можно сделать менее вероятными. Естественно, при этом манипуляционный код должен обладать свойством префиксности: ни одно более короткое слово не должно быть префиксом более длинного [7]. Потенциальный выигрыш такого отображения составляет [7]. На рис. 2 11 показан пример такого манипуляционного кода в случае гексагонального ансамбля сигналов при Квадрат

Рис. 2 11. Пример манипуляционного кода для ансамбля гексагональной упаковки с неравновероятными сигналами

Рис. 2.12. Эквивалеатные дискретные каналы: а — переменный во временн, постоянный

минимального евклидова расстояния а средняя скорость передачи бит/изм. (для сравнения для сигналов КАМ16 р = 0,4; R = 2 бит/изм.). Однако реализация такого ансамбля сопряжена с серьезными техническими трудностями, причем выигрыш не очень велик.