9.3. ЛИНЕЙНЫЙ МАТРИЧНЫЙ ПРИЕМНИК

Рассмотрим приемник, который обрабатывает последовательность независимых блоков причем в этом разделе ограничимся лишь линейным приемником, который, следуя общепринятой традиции, будем называть корректором.

Определение 9.3. Матричным корректором называется устройство, в котором принятый сигнал подвергается линейному преобразованию:

где вектор линейных оценок переданного сообщения; В — некоторая матрица

Очевидно, что при передаче дискретных сообщений матричная коррекция, как и любая другая, является предварительной процедурой, за которой следует нелинейная процедура принятия решения (рис. 9.4).

Специфической особенностью матричной коррекции, отличающей ее от классической гармонической коррекции, основанной на свертке последовательности отсчетов на выходе канала с весовой последовательностью корректора, является то, что преобразование (9.19) не есть свертка. Ниже рассмотрены два варианта матрично корректора, корректор, полностью подавляющий МСИ [130, 131], и корректор, минимизирующий среднеквадратическую погрешность (СКП) [131, 132].

Рассмотрим случай, когда шум на выходе канала отсутствует. Выражение (9.1) принимает вид

Оно представляет собой систему из линейных уравнений с неизвестными которая может быть решена по методу наименьших квадратов с помощью псевдообратной матрицы [133, 116]:

где матрица псевдообратная К [133]:

Матрица всегда существует, так как

Подставляя (9.22) в (9.20), получаем т. е. в отсутствие шума умножение на псевдообратную матрицу позволяет точно восстановить переданное сообщение.

Утверждение 9.7. Матричная коррекция полностью подавляет при любой длине блока

Это утверждение справедливо при конечной памяти канала и блочной передаче символов сообщения. При гармонической коррекции полное подавление МСИ возможно лишь при бесконечной длине корректора [111].

В случае, когда на выходе канала действует аддитивный шум, имеем из (9.21)

Рис. 9.4 Линейный матричный корректор на входе приемника

Поскольку -псевдообратная матрица, выражение (9.23) представляет собой оценку по методу наименьших квадратов [133]. Это значит, что среди всех оценок вида

оценка (9.23) является наилучшей в том смысле, что при евклидова норма вектора шума на выходе корректора минимальна.

Ковариационная матрица шума на выходе матричного корректора

где

Средняя мощность шума на выходе матричного корректора

где означает след матрицы (сумму диагональных элементов); — евклидова норма.

Матрица является эрмитовой, и так как положительно определена [133]. Она унитарно подобна диагональной матрице своих собственных значений:

где Т — унитарная матрица; действительные собственные значения матрицы

Известно [133], что след матрицы не изменяется при ортогональном преобразовании, откуда с учетом (3.24) следует

Представляет интерес исследование зависимости величины Лвых от длины блока Допустим, как и выше, что

Поскольку в этом случае из (9.26) следует

При условии (9.26) средняя мощность сигнала при передаче по каналу с матрицей К не изменяется.

Утверждение 9.8. При условии (9.26) средняя мощность шума на выходе матричного корректора при любом причем равенство имеет место, когда МСИ отсутствует где — единичная матрица).

Утверждение 9.9. Средняя мощность шума на выходе матричного корректора монотонно возрастает с увеличением длины блока

Доказательство основано на представлении матрицы обратной теплицевой матрице полученном Гохбергом и Семенцуелом [134, 135].

Пример 9.1. Пусть Собственные значения матрицы в этом случае определяются выражением Средняя мощность шума на выходе матричного корректора

В данном примере при поскольку

На рис. 9.5 (кривая 1) приведены зависимости нормированной средней мощности шума на выходе корректора и относительной скорости при от длины блока (Параметр поясняется ниже.)

Пример 9.2. Пусть Поскольку в этом случае то т. е. величина при стремится к конечному пределу (рис. 9.5, кривая 2)

Эти примеры показывают, что существуют каналы, в которых подавление межсимвольной интерференции приводит к неограниченному росту средней мощности аддитивного шума (при ), а также каналы, в которых величина Швых при стремится к конечному пределу.

Следует отметить, что оценка случайного вектора по результатам наблюдений аналогична известной задаче мате этической статистики [136]. Полученную выше из соображений подавления МСИ линейную оценку принято

Рис. 9.5 Зависимость от длины блока

называть оценкой наименьших квадратов. В частности, известно [136], что поскольку то несмещенная оценка

Допустим, что матричный корректор подавляет МСИ не полностью. В этом случае на его выходе будут действовать преобразованный в корректоре аддитивный шум и остаточная МСИ, однако суммарная мощность этих помех может быть меньше, чем рассчитанная по (9.25). Формально задача сводится к отысканию такого линейного преобразования с матрицей которое минимизирует среднее евклидово расстояние (СКП) между вектором сообщения и его оценкой на выходе корректора:

Корректор, матрица которого В является решением задачи (9.27), будет называться в дальнейшем оптимальным матричным корректором.

Утверждение 9.10. Матрица оптимального матричного корректора

обеспечивает минимум среднеквадратической погрешности:

где средняя мощность сигнала на входе канала;

Полученное оптимальное решение, как и предыдущее (матричная коррекция), имеет аналогию с линейными моделями математической статистики [136] и с некоторыми задачами теории связи [137, 138, 139, 142]. В частности, в [139] аналогичное решение было получено применительно к проблеме восстановления сигнала методами оптимальной фильтрации. Ниже исследуется специфика оптимального линейного приемника, предназначенного для оценки вектора сообщения на фоне МСИ и аддитивного шума.

Величина следовательно, сравнивая (9.28) и (9.25), можно заключить:

Отметим, что при любых из (9.28) следует

Утверждение 9.11. Величина ограничена сверху при любых

Утверждение 9.12. Величина при монотонно стремится снизу к конечному пределу при любом канале с МСИ.

Рассмотрим пример, иллюстрируемый (кривая 3). Весовая последовательность канала; Из рис. 9.5 видно, что если величина при для этого канала

стремится к бесконечности, то величина при стремится к конечному пределу

Утверждение 9.13. Справедливы пределы:

где передаточная функция канала в полосе Найквиста; тактовый интервал.

Правая часть (9.30) совпадает с выражением для минимальной среднеквадратической погрешности на выходе фильтра Колмогорова-Винера [2, 110]. Это значит, что при любой конечной длине блока среднеквадратическая погрешность на выходе оптимального матричного корректора меньше среднеквадратической погрешности на выходе оптимального фильтра Колмогорова — Винера, поскольку снизу стремится с ростом к пределу (9.30). Следует заметить, что относительная скорость стремится при этом также снизу к единице (см. рис. 9.5).

При конечной длине весовой последовательности матричная коррекция с помощью псевдообратной матрицы полностью подавляет МСИ. Вместе с тем подавление МСИ вызывает увеличение мощности аддитивного шума на выходе корректора. Относительная величина зависящая от длины блока и весовой последовательности канала может считаться мерой корректируемости каналов с МСИ.

Величина - зависит от собственных значений матрицы Из утверждения 9.9 следует, что она монотонно возрастает с увеличением Выберем в качестве критерия корректируемости каналов параметр

При любых конечных и тем самым (9.32) определяет верхнюю границу мощности аддитивного шума на выходе матричного корректора, полностью подавляющего МСИ (см. рис. 9.5). Величина представима в виде

Определение 9.4. Величина называется корректируемостью канала с МСИ.

Выражения (9.33) позволяют рассчитывать корректируемость по частотным и временным характеристикам канала. Понятие «корректируемость» подобно использованному в [140, 141] является важной характеристикой канала с МСИ. Оно позволяет оценивать целесообразность применения линейных методов приема в каналах с МСИ.

Рассмотрим каналы, характеристики которых изображены на рис. 9.3, соответствующие значения корректируемости приведены в табл. 9.2. Как следует из табл. 9.2, каналы с МСИ упорядочены в ней по возрастанию Условно приведенные в таблице каналы могут быть разделены на корректируемые плохо корректируемые и некорректируемые Естественно, что выбранные границы являются эвристическими и зависят от конкретных условий применения корректора.

В случае оптимальной матричной коррекции аналогичные рассуждения приводят к выражению для корректируемости

Величина зависит не только от свойств канала и тактового интервала (скорости передачи), но и от отношения шум-сигнал Величина х всегда конечная, и Это связано с тем, что т. е. играет роль регуляризирующего параметра, подобного тому, который используется в методе решения некорректных задач А. Н. Тихонова [142].

Для вычисления оценок вектора сообщения на выходе матричного корректора или оптимального матричного корректора необходимо умножение матрицы корректора на вектор сигнала на выходе канала: Эта операция требует выполнения умножений и сложений. Поскольку наиболее сложной операцией является умножение, то сложность алгоритмов цифровой обработки сигналов принято оценивать количеством умножений [143, 144]. Выберем в качестве меры сложности число комплексных умножений на один отсчет сообщения.

Утверждение 9.14. Сложность матричной коррекции

Число параметров матричного корректора, зависящих от канала, равно Это значит, что при изменении должны

Таблица 9.2 (см. скан)

перестраиваться (адаптироваться) все элементов матрицы корректора.

Рассмотрим возможность уменьшения сложности матричной коррекции, а именно уменьшение и числа параметров корректора, зависящих от канала. Эффективный алгоритм матричной коррекции [131, 145], описанный ниже, основан на том, что полное подавление МСИ возможно не только с помощью псевдообратной матрицы Замена матрицы корректора позволяет существенно уменьшить сложность последнего за счет некоторого проигрыша в помехоустойчивости.

Введем обозначение где

Здесь нулевая матрица Вектор отличается от тем, что к последнему добавлено нулей, образующих защитный интервал. Легко проверить, что

где — циркулянт вида

Левый блок матрицы совпадает с матрицей канала К.

Утверждение 9.15. Если существует матрица то матричный корректор с матрицей полностью подавляет МСИ.

Матрица полностью подавляет МСИ, однако если всегда существует, то матрица может быть вырожденной и В может не существовать.

Уменьшение сложности матричной коррекции связано с коррекцией в частотной области, основанной на известных свойствах циркулянта [133, 135].

Утверждение 9.16. Если циркулянт вида (9.36), то матрица подобна диагональной матрице

где матрица ДПФ;

собственные значения матрицы являются компонентами -точечного ДПФ весовой последовательности канала:

Пусть -ДПФ соответственно вектора сигнала на выходе канала, входе канала и вектора шума. Из (9.35) с учетом (9.37) имеем

Выражение (9.39) описывает каналы с МСИ в частотной области или в области ДПФ. Перепишем (9.39) по компонентам:

где компонента частотного шума

Утверждение 9.17. Компоненты частотного шума взаимно независимы; их синфазная и квадратурная составляющие также независимы и распределены по нормальному закону

Назовем оценкой вектора сообщения в частотной области вектор

Для каждой компоненты имеем

поскольку

Определение 9.5. Матричная коррекция, полностью подавляющая МСИ с помощью матрицы называется матричной коррекцией в частотной области.

Последовательность преобразований при матричной коррекции в частотной области показана на рис. 9.6.

Основное достоинство матричной коррекции в частотной области с точки зрения цифровой реализации состоит в том, что матрица корректора преобразована к диагональному виду с помощью ДПФ, которое вычисляется методом быстрого преобразования Фурье (БПФ).

Рис. 9.6 Реализация матричной коррекции с помощью ДПФ

Из методов вычисления ДПФ [143, 144] остановимся при оценке сложности на алгоритме Кули—Тьюки с основанием 2 [146].

Утверждение 9.18. Сложность матричной коррекции в частотной области

Из (9.40) следует, что мощность шума на выходе матричного корректора в частотной области может быть записана в виде

Утверждение 9.19. Справедливы равенства

Если возрастает с увеличением монотонно (утверждение 9.12), то изменяется немонотонно.

Аналогом оптимального матричного корректора, минимизирующего СКП на выходе корректора, при коррекции в частотной области является такой корректор, в котором оптимизированы элементы диагональной матрицы Матрица оптимизированного корректора

где

Утверждение 9 20. Минимальная СКП при коррекции в частотной области

где отношение шум-сигнал, и имеет место, если элементы диагональной матрицы корректора определяются выражением

Утверждение 9 21 Справедливы равенства

(асимптотическая оптимальность оптимизированной матричной коррекции в частотной области).

Важно отметить, что СКП на выходе оптимального матричного корректора монотонно снизу стремится к пределу тогда как стремится к тому же пределу немонотонно.

Таким образом, матричная коррекция в частотной области позволяет полностью подавлять МСИ и при больших длинах блока близка по помехоустойчивости к коррекции во временной области, а оптимизированная матричная коррекция в частотной области близка к оптимальной матричной коррекции, минимизирующей СКП. Сложность матричной коррекции в частотной области несоизмеримо меньше сложности коррекции во временной области

Альтернативой матричной коррекции может быть гармоническая коррекция [111]

где коэффициенты корректора.

Поскольку в канале происходит апериодическая свертка (8.18) [127], а операция, обратная свертке, конечной сверткой не является, то на выходе любого конечного гармонического корректора имеет место остаточная МСИ [111, 190].

Мощность гауссовского шума на выходе корректора

не меньше мощности шума на его входе [111]. Увеличение шума на выходе корректора зависит от характеристик канала и для каналов с большими искажениями АЧХ может быть очень значительным.

Мощность шума на выходе матричного корректора с увеличением монотонно снизу стремится к пределу, равному Мощность шума на выходе гармонического корректора стремится с увеличением к тому же пределу монотонно сверху [128]. Важно, что шум на выходе гармонического корректора всегда представляет собой сумму остаточной МСИ и преобразованного в корректоре аддитивного шума.

Оптимальная матричная коррекция сравнима с оптимизированной по минимуму СКП гармонической коррекцией [114] (MSE - корректор). Среднеквадратическая погрешность на выходе оптимизированного гармонического корректора при и оптимального матричного корректора при стремится к одному и тому же пределу, равному При оптимизированный гармонический корректор превращается в фильтр Колмогорова-Винера [129].

Зависимости от длины блока для матричного корректора и от длины гармонического корректора для канала № 9 из табл. 9 2 приведены на рис. 9.7.

Рассмотренная матричная коррекция представляет собой наилучший линейный метод подавления МСИ, учитывающий блочную структуру сигнала на входе канала Именно последнее обстоятельство обусловило основное преимущество матричной

Рис. 9.7 Сравнение матричной и гармонической коррекций: 1 — оптимальный гармонический кор ректор длины J; 2-оптимальный мат ричный корректор длины блоков

коррекции — возможность полного подавления МСИ. Другим преимуществом матричной коррекция является значительный выигрыш в помехоустойчивости по сравнению с другими методами линейного приема, т. е. в отношении сигнал-шум на выходе корректора, в плохо корректируемых каналах.

Вместе с тем матричная коррекция приводит к значительному увеличению шума в каналах с сильными искажениями АЧХ. Из приведенных выше характеристик матричной коррекции следует, что в таких каналах необходимо применение иных, более эффективных методов приема или, шире, более эффективных методов передачи (некоторые из них рассмотрены ниже).

Наиболее эффективные методы передачи дискретных сообщений в каналах с МСИ, рассмотренные в гл. 10—13, включают в себя матричную коррекцию в частотной области, используемую в сочетании со специально выбранными сигналами, наилучшим образом согласованными с каналом.

Другим широко известным субоптимальным способом приема в канале с МСИ является нелинейный приемник с обратной связью по решению (ОСР) [116, 120]. Предварительная оценка в приемнике с ОСР вычисляется по правилу

где решения, выдаваемые декодером. Поскольку приемник с ОСР ниже не рассматривается, отметим его основные свойства [120]. Во-первых, его помехоустойчивость выше, чем у линейного корректора. Во-вторых, приемник с ОСР не всегда устойчив, т. е. наличие обратной связи в определенных каналах может приводить к неограниченному размножению ошибок решения. В табл. 9.1 приемник с ОСР используется для сравнения помехоустойчивости различных приемников в канале с МСИ.

Следует. заметить, что идея обратной связи по решению позволяет реализовать оптимальный поэлементный прием в каналах с МСИ, а не прием «в целом», рассмотренный в разд. 9.2. Теория и характеристики оптимальных поэлементных приемников в каналах с МСИ изложены в [116, 117, 121].