4.2. ФОРМАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ СИГНАЛЬНО-КОДОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Будем рассматривать задаваемую только в виде ОК кодов, причем будем рассматривать две конструкции (CKKI и СККII). В CKKI мощности ансамблей внутренних сигналов и алфавиты внешних кодов одинаковы, и проблема согласования этих величин не возникает. В СККII мощности ансамблей внутренних сигналов и алфавиты внешних кодов разные, и возникает проблема их согласования.

Отметим, что практически все давно известные СКК, не использующие принципа обобщенного каскадирования, являются частными случаями CKKI и СККII при (ОК первого порядка) [19].

Утверждение 4.1. (CKKI). Пусть заданы ансамбль сигналов

называемый внутренним кодом (см. (1.2.4)), и набор кодов

называемых внешними кодами.

а) Тогда множество всех векторов вида

где пробегают все возможные значения, образует код с параметрами

б) Если удовлетворяет свойству (2.9), а все коды линейные, то для любого имеет место следующее условие:

Доказательство. Из утверждения а) ясно, что Так как каждому набору векторов соответствует вектор у вида (4.1), то новый код имеет мощность

Докажем теперь, что имеет вид (4.2). Пусть у имеет вид (4.1), а у определяется векторами т. е.

Так как наборы векторов различны, то существует такое, что для причем Но слова кода и поэтому Рассмотрим матрицы размера образованные векторами

В матрицах столбцы различаются не менее чем в позициях. Поэтому векторы будут различаться в позиции не менее раз, когда и пробегает все значения: Но это означает,

что соответствующие им сигналы принадлежат подкоду (вспомним, что при ), который имеет расстояние

Поэтому Так как может принимать любое значение то тем самым получаем выражение (4.2) для

В утверждении б) нам осталось проверить равенство (4.3). Рассмотрим матрицу Каждый столбец ее пробегает независимо от других столбцов весь код причем в силу линейности кода каждый символ появляется одинаково часто в каждой позиции, а именно раз. Поэтому вектор для любого пробегает весь код X одно и то же число раз, равное Отсюда с учетом свойства (2.9) получаем (4.3).

Частные случаи этой конструкции были рассмотрены в Утверждение Пусть заданы кодов Каждое слово кода разбиваем на блоки длины

Пусть также имеется ансамбль сигналов каждый сигнал которого перенумерован с помощью двоичных векторов длины Пусть для любого и любых разбиение ансамбля сигналов

удовлетворяет свойству (2.34).

а) Тогда множество векторов у вида

где векторы пробегают все возможные значения, образуют код с параметрами

б) Если же для любого множество векторов длины «над содержите каждом столбце каждый элемент одинаковое число раз — вес Хэмминга вектора с) и если ансамбль X удовлетворяет нормировке (2.9), то У удовлетворяет нормировке (4.3).

Доказательство. В утверждении а) нетривиальна только оценка расстояния. Рассмотрим два разных слова

Пусть у имеет вид (4.6) и определяется векторами в соответствии с (4.5). Пусть у имеет вид

где двоичные блоки длины т. е.

Пусть наименьший индекс, удовлетворяющий следующему свойству: для но Рассмотрим множество расстояний и пусть

Так как то по определению

Оценим квадрат евклидова расстояния

где в первом неравенстве воспользовались свойством отображения сигналов (2.36), а во втором — неравенством (4.7). Так как принимает значения от 1 до это дает оценку расстояния кода

Чтобы доказать утверждение б), рассмотрим множество матриц вида (4.4), образованное всеми векторами Но по условию утверждения каждый символ встречается в каждом столбце одинаковое число раз, равное (Так будет, например, если код линейный) Поэтому вектор пробегает весь код одно и то же число раз, равное откуда и следует (4.3).

Отметим, что конструкция для некоторых ансамблей сигналов в была рассмотрена в [82, 83]. Оказалось, что в как правило, лучше

При использовании CKKI необходимо иметь внутренний код, разбиение которого удовлетворяет свойству (2.36). Известно [82, 83], что точек одномерной решетки или точек, расположенных равномерно на единичном круге в образуют код с таким свойством, если его кодовые точки перенумеровать кодом Грея длины Кроме того, для построения кодов такого типа можно использовать следующее утверждение.

Утверждение 4.3. Пусть задан код

и код является прямой суммой копий кодов X]

Тогда, для того чтобы код удовлетворял свойству (2.36), необходимо и достаточно, чтобы код удовлетворял этому свойству.

Доказательство. Пусть два слова кода имеют номера Пусть Нам надо доказать, что

Положим т. е. . В силу Поэтому имеем

Доказательство в обратную сторону тривиально.

К сожалению, неизвестны другие способы построения внутренних кодов в CKKII, поэтому в дальнейшем будет рассматриваться с внутренними кодами из утверждения 4.3.

При доказательстве характеристик CKKI и каждый шаг рассматривался независимо от других, поэтому возможно использование на некоторых шагах разбиения конструкции I, а на остальных — конструкции II