8.2. МОДЕЛЬ КАНАЛА ДИСКРЕТНОГО ВРЕМЕНИ

Представим сигнал на входе канала (НЧ-эквивалента) в виде [112]

где последовательность комплексных отсчетов сигнала на входе непрерывного канала; тактовый интервал между отсчетами. Величина называется частотой отсчетов, или скоростью модуляции . В (8.8) предполагается, что кодер, подобный изображенному на рис. 1 1, ставит в соответвье блоку из двоичных информационных символов один из сигналов, каждый из которых представляет собой последовательность из двухмерных (комплексных) отсчетов, следующих с частотой Скорость передачи информации определяется при этом выражением или бит/изм.

Заменим непрерывный сигнал на выходе канала последовательностью отсчетов, следующих с частотой Строгий переход от непрерывного канала к каналу дискретного времени основан на использовании отсчетно-обеляющего согласованного фильтра

Определение 8.4. Фильтром, согласованным с импульсной характеристикой канала т. е. согласованным фильтром называется фильтр, отклик которого на -функцию есть где означает комплексное сопряжение.

Сигнал на входе приемника представим в виде

где - линейно независимые базисные функции.

В [112] показано, что последовательность величин

образует набор достаточных статистик для оценки коэффициентов Иначе говоря, последовательность так же хороша для оценки последовательности как и непрерывная функция Из (8.9) и (8.10) следует, что

Из (8.11) имеем

где

Последнее выражение представляет собой отсчет профильтрованного согласованным фильтром АБГШ.

Физический смысл согласованной фильтрации состоит в выделении из принятого сигнала (8 9) компоненты, лежащей в подпространстве, образованном линейными комбинациями вида

и подавлении компоненты, не лежащей в этом подпространстве, так как последняя может быть образована только шумом. Из (8.13) и (8.14) следует, что отсчеты шума на выходе согласованного фильтра являются коррелированными:

Заменим согласованный фильтр иным приемным фильтром, обеспечивающим выполнение одновременно двух условий:

отсчеты должны образовать набор достаточных статистик для оценки коэффициентов

отсчеты гауссовского шума на выходе приемного фильтра должны быть некоррелированными и иметь среднюю мощность, равную

Пусть импульсная характеристика приемного фильтра. Отсчеты сигнала на его выходе определяются выражением

Определим передаточную функцию приемного фильтра

а также отсчеты импульсной характеристики системы, включающей канал приемный фильтр

Справедливо следующее утверждение.

Утверждение 8.2. Пусть передаточная функция приемного фильтра определяется выражением

где произвольная функция такая, что -периодическая функция с периодом Тогда последовательность отсчетов сигнала на выходе приемного фильтра (8.15), представимая в виде

где определяется выражением (8.16), образует набор достаточных статистик для оценки коэффициентов а отсчеты гауссовского шума

являются некоррелированными и имеют среднюю мощность

Определение 8.5. Приемный фильтр, передаточная функция которого удовлетворяет (8.17), называется отсчетно-обеляющим согласованным фильтром.

Определение 8.6. Гауссовским каналом дискретного времени называется канал, вход и выход которого связаны выражением (8.18), где есть не зависящая от стационарная гауссовская последовательность с комплексными компонентами Такая модель канала с МСИ является общепринятой [113, 114] и аппроксимирует широкий класс реальных каналов.

Последовательность отсчетов импульсной характеристики канала конечна, поскольку конечна в смысле утверждения 8.1 сама импульсная характеристика. Пусть соответственно первый и последний отсчеты импульсной реакции канала При этом параметр определяет память канала, так как

Рис. 8.1 Гауссовский канал дискретного времени

каждый отсчет на выходе канала представляет собой линейную комбинацию входных отсчетов (рис 8.1).

Определение 8.7. Весовой последовательностью канала с МСИ (импульсной характеристикой канала дискретного времени) называется последовательность отсчетов где длина весовой последовательности канала.

Перепишем (8.18), учитывая конечность памяти канала с МСИ:

Именно выражение (8.18) используется в дальнейшем для описания канала, причем в гл. 9—12 весовая последовательность считается неизменной во времени, а в гл. 13 описывается передача сообщений в канале с МСИ, весовая последовательность которого медленно меняется во времени.

Каналу дискретного времени (8.19) соответствует частотная характеристика (передаточная функция)

Передаточная функция канала дискретного времени при использовании отсчетно-обеляющего СФ (см. (8.17)) имеет вид [115]

Определение 8.8. Передаточной функцией в полосе Найквиста называются значения в интервале Название «полоса Найквиста» связано с критерием Найквиста, определяющим условия отсутствия МСИ [111].

Определение 8.9. Идеальным каналом без МСИ называется гауссовский канал дискретного времени (8.19), у которого при всех

При рассмотрении каналов с МСИ будем считать весовую последовательность нормированной.