6.2. ЭКСПОНЕНТА ВЕРОЯТНОСТИ ОШИБКИ РАЗЛИЧНЫХ СИГНАЛЬНО-КОДОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Теперь рассмотрим ансамбль случайных СКК, у которых ансамбль внутреннего кода X фиксирован, а символы каждого внешнего кода выбираются независимо с вероятностной мерой Одновременно рассмотрим ансамбль случайных СКК с линейными внешними кодами. Очевидно, что ансамбли CKKI и СККII в этих случаях совпадают.

Пусть последовательность слов передается каналу с гауссовским шумом (например, -мерному) с отношением сигнал-шум — принятое слово, искаженное шумами.

Будем исследовать алгоритмы как с мягким, так и жестким декодированием внешними кодами.

Проанализируем алгоритм СКК с независимым декодированием внешними кодами (см. разд. 5.1). Пусть соответственно вектор разбиения и скорость скорость внешнего кода; матрица переходных вероятностей эквивалентного дискретного (или плотностей вероятности в случае полунепрерывного) канала для внешнего кода при условии, что все коды до включительно декодированы правильно; пропускная способность соответствующего канала. Пусть также — экспонента вероятности ошибочного декодирования и функция, ей обратная.

Легко заметить, что при использовании алгоритма Чнмп вероятность ошибки ограничена сверху выражением где вероятность ошибочного декодирования внешнего кода при условии, что все внешние коды до включительно декодированы правильно. Положим Зафиксируем скорость передачи последнего внешнего кода определим и подсчитаем остальные Следовательно, можно определить и скорость Для каждого допустимого т. е. определенного при любом в качестве скорости будет выбираться ее максимальное значение среди всех возможных разбиений (при фиксированном ансамбле сигналов X). Тогда из алгоритма и приведенных рассуждений непосредственно вытекает [91] следующее утверждение.

Утверждение 6.4. При декодировании с помощью алгоритма принятой из канала связи СКК вероятность ошибки ограничена сверху выражением

где функция, связывающая при заданном величины параметрически следующим образом:

Рассматривая асимптотический случай видим, что множитель практически не влияет на показатель экопоненты которую и будем считать вероятностью ошибки СКК.

Для проведения вычислений по (6.12), (6.13) необходимо определить матрицу переходных вероятностей (плотностей вероятностей при мягком декодировании) для кода, декодируемого на шаге при условии, что на всех предыдущих шагах декодирование закончилось правильно. Пусть есть вероятность (плотность вероятности) перехода сигнала подкода в сигнал подкода при декодировании кода на шаге Тогда

Пропускная способность эквивалентного дискретного канала внешнего кода вычисляется по формуле

где входной вектор вероятностей -ичного канала (см. разд. 3.5).

Пропускная способность эквивалентного канала при мягком декодировании вычисляется по аналогичной формуле, только суммирование по I заменяется -мерным интегралом, заменяется на соответствующую плотность вероятности. Способы максимизации показателя экспоненты и пропускной способности описаны выше.

Оценим теперь экспоненту вероятности ошибки СКК при декодировании по максимуму правдоподобия Поскольку при этом алгоритме декодирования решение по всем внешним кодам принимается лишь в конце алгоритма, нельзя разложить результат декодирования на независимые декодирования внешними кодами и

применять к каждому независимую экспоненту вероятности ошибки. Однако попытаемся действовать по аналогии с алгоритмом

Рассмотрим сначала экспоненту случайного кодирования. Вероятность ошибки при условии передачи вектора со словами выражается по формуле

где вероятностная мера слов внешнего кода; условная вероятность получения вектора у с выхода канала при передаваемых векторах вероятность ошибки. При мягком декодировании сумма по у заменяется интегралом, а условная вероятность получения вектора у — плотностью вероятности. Здесь для простоты вместо векторов и при жестком декодировании употребляем обозначение у.

Переходим к следующей гртппе событий Событие состоит в том, что произошла ошибка декодирования в векторе причем векторы безошибочны, а векторы произвольны. Тогда, как легко убедиться,

Подставив (6.17) в (6.16) и проведя преобразования, получим

где

Теперь в соответствии с методом получения экспоненты случайного кодирования [24] получим

где — число слов в внешнем коде

Подставив (6.20) в (6.19) и проведя необходимые преобразования по аналогии с [24], получим

Используя тот факт, что передача осуществляется по каналу без памяти, получаем

где — общее число зон квантования на шаге декодирования (определяется как пересечение зон на всех предыдущих шагах); номер зоны квантования; номера символов соответствующих вложенных кодов.

Переходные вероятности в (6.22) можно получить по формулам, аналогичным (6.14):

где означает вероятность попадания сигнала подкода в -зону квантования.

Положим теперь, что избыточности внешних кодов СКК выбраны таким образом, что выполняется тождество Тогда вероятность ошибки декодирования

или же

где показатель случайного кодирования

матрица размера скорость внешнего кода.

Взяв производную (6.26) по 0 при можно определить максимальную скорость внешнего кода [1]:

Следует отметить, что, во-первых, где определяется по (6.15), а во-вторых, сумма всех дает максимальную скорость СКК при декодировании по максимуму правдоподобия. Величину для мягкого декодирования внешними кодами можно получить из (6.27), заменив суммирование по -мерным интегралом и вероятности соответствующими плотностями вероятностей.

По аналогии с [24] можно получить выражение экспоненты для ансамбля СКК с выбрасыванием.

Утверждение 6.5. При декодировании по алгоритму принятой из канала связи СКК вероятность ошибки ограничена сверху выражением

Рентах

где функция, связывающая при заданном величины следующим образом:

Кроме того,

показатель экспоненты случайного кодирования и экспоненты с выбрасыванием матрица размерности с элементами столбце и строке; определяется по (6.27).

Как и в утверждении 6.4, для асимптотики коэффициент в (6.29) несуществен, поэтому (6 29) является экспонентной вероятности ошибки СКК при декодировании по алгоритму максимума правдоподобия Все выводы о максимизации экспонент по при независимом декодировании распространяются в этом случае для

Асимптотическая сложность алгоритмов декодирования СКК по максимуму правдоподобия определена формулами Тогда справедливо следующее утверждение.

Утверждение 6.6. Сложность декодирования СКК с ансамблем сигналов X, раскладываемым на цепочку вложенных ансамблей

вектором разбиений внешними кодами при реализации экспоненты ошибки в соответствии с утверждениями 6.4 и 6.5 оценивается неравенством

где показатель экспоненты сложности декодирования. В случае независимого декодирования внешними кодами

а при декодировании по максимуму правдоподобия

Рассмотрим для примера двухмерные сигналы ФМ и КАМ. На рис. 6.3 и 6.4 показано разбиение на зоны сигналов при жестком декодировании внешними кодами. Штриховой линией показано разбиение вложенных ансамблей сигналов.

Для расчета показателей экспонент вероятности ошибки необходимо уметь определять вероятности или плотности вероятностей (см. (6.14) и Для этого надо уметь подсчитывать вероятности попадания сигнала в заданную область двухмерного пространства или плотность вероятности в заданной точке пространства. Величину в дискретном канале можно вычислить при помощи методики, изложенной в [4]. В случае симметричного канала (ФМ) достаточно определить как функцию от отношения сигнал-шум [91]. Тогда где

Рис. 6.3 Разбиение на зоны сигналов при жестком декодировании

(кликните для просмотра скана)

Для несимметричного канала необходим полный перебор. Величина определяется аналогично.

Пусть - проекции двухмерного сигнала проекции принятого двухмерного сигнала. Как для , так и для при мягком решении необходимо оценить условную плотность вероятности попадания на шаге сигнала с номером из подкода в точку пространства

Подставив (6 35) в (6.14) и (6 23), можно оценить соответствующие показатели экспоненты вероятности ошибки декодирования СКК.

На рис. 6.5 и 6.6 показаны зависимости максимально достижимых скоростей передачи от отношения сигнал-шум при ФМ и КАМ соответственно. Кривые на рисунке соответствуют: 1 — пропускной

Рис. 6.6 Максимально достижимые скорости передачи при КАМ

способности ГКБП; 2 - жесткому алгоритму ; 3 — жесткому алгоритму мягкому алгоритму ; 5 — мягкому алгоритму . Буква а обозначает вектор разбиений

Как и следовало ожидать, начиная с дает существенные преимущества по сравнению с ФМ, которые увеличиваются с ростом числа сигналов в ансамбле. Преимущества мягкого декодирования внешними кодами при умеренных исчезают при возрастании отношения сигнал-шум. И при жестком, и при мягком декодировании внешними кодами алгоритм обеспечивает существенные преимущества по сравнению с Тнип. Однако при

Рис. 6.7 Зависимость показателя экспоненты ошибочного декодирования СКК от скорости передачи при ФМ

Рис. 6.8 Зависимость показателя экспоненты ошибочного декодирования СКК от скорости передачи при КАМ

Рис. 6.9 Зависимость показателя экспоненты сложности декодирования СКК от скорости передачи

жестком декодировании наилучшие результаты дает вектор разбиений а при мягком — Это связано с тем, что в случае жесткого декодирования при канал квантуется на большее число зон, чем при

На рис. 6.7 и 6.8 показаны соответственно для ФМ и КАМ показатели экспоненты вероятности ошибки декодирования СКК в зависимости от скорости передачи при Кривые на рисунке соответствуют: 1 — жесткому алгоритму Тнмп; 2 — жесткому алгоритму Тип; 3 — мягкому алгоритму Тнмп; 4— мягкому алгоритму Все кривые соответствуют числу сигналов в ансамбле . Точками показаны границы области кривой с одним и тем же числом сигналов. Показаны кривые только для максимизирующих векторов разбиений. Как и в случае максимальной скорости наилучшие результаты дает мягкое декодирование по алгоритму затем мягкое по алгоритму затем аналогичные жесткие алгоритмы. Однако разница в результатах декодирования существенно зависит от отношения сигнал-шум в различных областях кривых.

На рис. 6.9 показаны зависимости показателя экспоненты сложности обработки для мягкого декодирования от максимальной скорости передачи при ФМ8 и КАМ 16 Кривой 1 соответствует декодирование по алгоритму при кривой 2 — при кривой 3 — при Используя результаты, приведенные на рис. 6.9, 6 5 и 6.6, можно анализировать соотношение между сложностью декодирования СКК, помехоустойчивостью и скоростью передачи.