14.4. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ СИГНАЛЬНО-КОДОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ ДЛЯ СИСТЕМ С МЕДЛЕННЫМИ РЭЛЕЕВСКИМИ ЗАМИРАНИЯМИ

Отклонимся от общей модели и коротко рассмотрим ситуацию системы без прыжков по частоте и наличия полосовой помехи (или прыжки очень редкие). В этом случае хорошим дискретным приближением такого канала явится модель Гилберта — Эллиота [211] При использовании модели Гилберта — Эллиота предполагается, что процесс смены состояний канала может быть описан стационарной цепью Маркова с двумя состояниями «0» и «1» и переходными вероятностями между состояниями Пока канал находится в одном состояния, он предполагается двоичным симметричным без памяти с независимыми ошибками Возможны обобщения на случай стираний и большего числа входов и выходов Обозначим также вероятность ошибки в состоянии, а рстг вероятность стирания в состоянии. В [212] показано, что канал с рэлеевскими замираниями, возникающий в системе связи с подвижными объектами, может быть адекватно представлен моделью Гилберта-Эллиота. Так бывает, если в системе имеется один порог в цепи устройства оценки состояния чанала. Более общая ситуация приведена в [213], где дается классификация различных случаев образования дискретного канала в каналах с памятью.

Модель канала из [212] имеет следующие параметры:

где доплеровский сдвнг несущей частоты.

В [212—214] показано, что каскадные коды в таких каналах обеспечивают лучшие характеристики, чем обычно применяемое на практике перемежение слов корректирующих кодов.

В рассматриваемой модели системы связи передача ведется блоками из символов, где и это длины соответственно внутреннего и внешнего кодов. Если используется система с перемещением, то в качестве внутреннего подразумевается безызбыточный блоковый код. Тогда канал на входе декодера внешнего кода может быть описан как канал Гилберта — Эллиота с теми же, что и выше, вероятностями ошибки и стирания и вероятностями переходов между состояниями

При использовании каскадных кодов в канале Гилберта — Эллиота не удается построять точное описание модели канала на входе декодера внешнего кода, поэтому будем пользоваться приближением из [213], а именно предположим, что канал может изменять свое состояние только на границах слов внутреннего кода. Такая модель адекватно описывает реальную ситуацию в случае, когда средняя длина последовательности плохих состояний больше длины внутреннего кода [214].

При использовании в качестве внешнего сверточного кода, декодируемого по алгоритму Витерби, считаем, что после передачи символов кода вставляется нулей, где длина кодового ограничения сверточного кода. Если относительная скорость сверточного кода то получается эквивалентный внешний блоковый со скоростью, немного меньше 1/2, где сиободное расстояние сверточного кода подразумевается достаточно большой.

Ниже рассматриваются два типа алгоритмов декодирования — с известным и неизвестным декодеру состоянием канала. Декодер блокового кода, исправляющий ошибки и стирания, в первом случае работает независимо от состояния канала, а во втором — стирает все символы, которые были переданы, пока каиал находился в плохом состоянии. Таким образом, при известном декодеру состоянии получается канал Гилберта-Эллиота, для которого Однако такой учет состояний канала не является оптимальным. Более точными в этом случае оказываются вероятностные алгоритмы декодирования, примерами которых являются вероятностное декодирование мажоритарных кодов и декодирование по алгоритму Витерби.

Поскольку оценка характеристик каскадного кода производится через характеристики составляющих кодов, приведем сводку формул для расчета вероятности неправильного декодирования (т. е. ошибки или стирания) слова -ичного блокового кода А при исправлении ошибок и стираний с параметрами при передаче по каналу Гилберта — Эллиота [214]. Для кодов Рида — Соломона приведем оценку вероятности необнаруженной ошибки декодирования. Эти же результаты применимы для блокового кола с перемежеиием при исправлении ошибок и стираний.

Обозначим через вероятность того, что из символов кодового слова были переданы, пока канал находился в хорошем состоянии. Тогда при неизвестном декодеру состоянии канала имеем

где - вероятность ошибок и у стираний в последовательности длииы

а - вероятность у стираний в последовательности длииы

Вероятности могут быть найдены с помощью следующей рекуррентной процедуры:

При отсутствии стираний в канале в скобках в формуле (14.33) остается только одно слагаемое, равное вероятности более ошибок в переданном слове.

В случае, когда -код является кодом оказывается возможным оценить сверху вероятность необнаруженной ошибки декодирования -кода

где вероятность ровно ошибок и стираний в переданном слове, а для справедлива формула

Если в канале нет стнраннй, то в формуле для отсутствует внешняя сумма При известном декодеру состоянии канала необходимо подставить значения полагая При увеличении блоковой длины кода быстро возрастает сложность вычисления вероятностей Поэтому для больших значений целесообразно пользоваться асимптотическими оценками вероятностей.

Можно оценить вероятности ошибки и для других алгоритмов декодирования. Например, в [214] показано, что при мажоритарном алгоритме декодирования в таком канале вероятность ошибки в бите при известном и неизвестном состояниях канала ограничена соответствующими неравенствами:

где длииа нетривиальной проверки мажоритарного кода; наименьшее целое, большее или равное х.

В случае декодирования сверточных кодов со скоростью 1/2 по алгоритму Витерби при и неизвестной информации о состоянии канала получим что вероятность первой ошибки в бите ограничена неравенством

где составляющая спектра весов сверточного кода.

При известном декодеру состоянии канала ошибочный путь веса будт выбран, если на позициях «метрика» неправильного пути будет не меньше «метрики» правильного пути. Это условие записывается в виде

где число ошибок в хорошем и плохом состояниях канала соответственно. Легко увидеть, что имеем условие для декодера с неизвестным состоянием канала. Таким образом, для определения величины в необходимо в (14.41) вместо неравенства подставить неравенство (14.42).

В табл. 14.1 приведены результаты расчетов вероятностей для каналов I и II:

канал

канал

Используются следующие коды суммарной длины со скоростью около 1/2:

1. Итерированный код с внутренним двоичным -кодом и внешним двоичным -мажоритарным кодом (перемеженне слов мажорнтарноп кода) с неизвестным декодеру состоянием канала.

Таблица 14.1 (см. скан)

2. Тот же код, но с известным декодеру состоянием канала.

3. Итерированный код с внутренним двоичным -кодом и внешним двоичным -кодом, полученным из сверточного кода при [214] (перемежение слов сверточного кода) с неизвестным декодеру состоянием канала.

4. Тот же код, но с известным декодеру состоянием канала.

5. Итерированный код с внутренним двоичным -кодом и внешним двоичным (64, 39, 10-) кодом БЧХ (перемеженне слов кода с неизвестной декодеру информацией о состоянии канала.

6. Каскадный код с внутренним (16, 15, 2) и внешним кодом РС (64, 34, 31) над полем с неизвестной декодеру информацией о состоянии канала.

7. Внутренние двоичные коды (16, 7, 6) и внешние коды (64, 40, 25) над (64, 34, 31) над

8. Те же внутренние коды и внешние коды (64, 40, 25) над (64, 30, 35) над

9. Те же внутренние коды и внешние коды (64, 43, 22) над и (64, 25, 31) над

Для кодов 1—4 в графе приводится вероятность ошибки в двоичном символе. Для кодов 5—9 в графе приводится вероятность неправильного декодирования слова кода, а в графе вероятность необнаруженной ошибки декодирования.

Из полученных результатов можно сделать следующие качественные выводы:

1. Во всех случаях знание на приемном конце состояния канала существенно повышает надежность передачи и дает в рассмотренном канале дополнительный энергетический выигрыш, по крайней мере больше

2. Для системы передачи с перемежением применение сверточных кодов с алгоритмом декодирования Внтерби обеспечивает несколько лучшие характеристики, чем при блочных БЧХ и мажоритарных кодах. Однако следует помнить, что у рассмотренного сверточного кода меньше скорость передачи.

3. Применение каскадных кодов в канале Гнлберта — Эллиота предпочтительнее, чем простое перемежение слов кода, по крайней мере тогда, когда средняя длина серии плохих состояний больше длины внутреннего кода, как в рассмотренных примерах. Это связано с тем, что в случае каскадных кодов при декодировании внутреннего кода часть ошибок обнаруживается и внешнему коду приходится исправлять не ошибки, а стирания, что повышает его корректирующую способность по сравнению с исправлением ошибок.

4. Использование обобщенных каскадных кодов может дать дополнительный выигрыш по сравнению с каскадными кодами. Этот выигрыш может быть реализован двумя способами: по скорости передачи и по вероятности ошибки и стирания. В самом деле, скорость передачи кода 7 больше, чем кода 6, однако второй уровень кода 6 защищен больше, чем первый, поэтому характеристики кодов 6 и 7 примерно одинаковы. Очевидно, что для получения выигрыша по вероятностям ошибки и стирания у кодов с равной скоростью необходимо увеличить защиту первого и уменьшить защиту второго уровней обобщенного каскадного кода. Это показывают примеры 8 и 9. Можно видеть, что характеристики обобщенных каскадных кодов в обоих каналах лучше, чем каскадного

кода 6. Однако слишком сильное «разнесение» степеней защиты двух уровней обобщенного каскадного кода может в плохом канале ухудшить характеристики системы (см. примеры 8 и 9 в канале 1).