12.2. АНАЛИЗ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СИГНАЛЬНО-КОДОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ ДЛЯ КАНАЛОВ С МСИ

Асимптотику СККМ по размерности будем рассматривать при . При этом для временной СККМ будем требовать но (длина блока в канале с МСИ и число независимых каналов без памяти) может быть конечной константой При анализе частотной СККМ всегда полагаем, что [182, 185, 186].

Нам понадобится вспомогательная функция

где, как и выше (10.65),

— собственные значения матрицы циклической свертки в (11.4). Из (12 6) и (12.7) имеем

где

— передаточная функция канала в полосе Найквиста; весовая последовательность канала (см. гл. 8).

Асимптотика квадрата евклидова расстояния. Так же, как и для СКК в гауссовском канале (см. гл. 6), будем рассматривать двоичные внешние коды, лежащие на границе Варшамова — Гилберта:

где

Для временной СККМ при произвольном варианте справедливо утверждение 12.4.

Утверждение 12.4. Скорость СККМ. в случае временного кодирования при и условии, что все внешние коды удовлетворяют границе Варшамова — Гилберта,

при ограничении

Утверждение доказывается на основе подстановки (12.3) в (12 10) и определения скорости СККМ.

Выражение (12 12) соответствует наиболее общему случаю связи параметров независимых каналов без памяти, как это свойственно для варианта 3 дополнительных ограничений (см. гл. 11). Для всех остальных вариантов возможны уточнения (12.12) по параметрам максимизации.

Для частотной СККМ, соответствующей варианту 4, справедливо следующее утверждение.

Утверждение 12.5. Скорость СККМ при частотном кодировании для варианта 4 при и условии, что все внешние коды удовлетворяют границе Варшамова — Гильберта,

при ограничении Доказательство данного утверждения следует из подстановки (12.5) и (12.10), а также учета (12.6) — (12.9) и (11.28).

Аналогичное утверждение для варианта 2 ограничений (см. гл. 11), который связан с безызбыточной конструкцией может быть получено как частный случай утверждения 12.5. Утверждение 12.6. Скорость СККМ для варианта 2 частотного кодирования при и условии, что все внешние коды удовлетворяют границе Варшамова — Гилберта,

Рис. 12.1 (см. скан) Асимптотические характеристики СККМ в каналах № 9 (а) и 10 (б) из табл 9.1

Подобно тому, как максимальная скорость для варианта 2 существенно меньше максимальной скорости для варианта 4, полученная нижняя граница меньше той, которая определена утверждением 12.5.

Зависимости скорости СККМ от нормированного квадрата евклидова расстояния показаны на рис. 12.1. Штриховым кривым соответствует временной вариант кодирования СККМ, а сплошным — частотный. Номеру кривой соответствует номер варианта дополнительных ограничений.

Асимптотика вероятности ошибки. Оценим теперь экспоненту вероятности ошибки СККМ при декодировании по алгоритму (см. разд. 5.1), где все внешние коды декодируются по максимуму правдоподобия. Рассмотрим сначала временной вариант организации СККМ. Будем считать, что имеется случайных блочных -ичных кодов с параметрами где длина кода; относительная скорость кода Все эти коды имеют оптимальную галлагеровскую экспоненту случайного кодирования (см. разд. 6.2):

где

распределение вероятностей на входном алфавите соответствующего внешнего кода; матрица переходных вероятностей и иропускная способность соответствующего -ичного канала.

Обозначим обратные функции Легко заметить, что при использовании алгоритма Чнмп вероятность ошибки ограничена сверху выражением

где вероятность ошибки внешнего кода в независимого канала без памяти при условии, что все внешние коды до включительно декодированы правильно. Положим при . Для каждого набора векторов разбиений зафиксируем скорость последнего внешнего кода в СКК нулевого канала без памяти (самого малоизбыточного), определим и далее подсчитаем для остальных значений

Теперь можно определить

Тогда из алгоритма и приведенных соображений вытекает следующее утверждение.

Утверждение 12.7. При декодировании по алгоритму с «жесткими» решениями принятой СККМ с «временным» кодированием для канала МСИ вероятность ошибки ограничена сверху выражением

где функция, связывающая при заданных величины параметрически следующим образом:

В случае частотной СККМ можно получить аналогичные утверждения. Будем считать, что случайные внешние коды удовлетворяют неравенствам (12.14) — (12.16) при с опусканием индекса Тогда справедливо следующее утверждение.

Утверждение 12.8. При декодировании по алгоритму «жесткими» решениями принятой СККМ с «частотным» кодированием (по варианту 4) для канала с МСИ вероятность ошибки ограничена сверху выражением

где функция, связывающая при заданных величины параметрически следующим образом:

при ограничении

Для проведения вычислений по (12.14) — (12.20) необходимо определить матрицы переходных вероятностей и пропускные способности соответствующих каналов. Алгоритм вычисления матрицы переходных вероятностей канала подробно изложен в гл. 2 и может бьпь применен для вариантов 2—6 с учетом конкретных ограничений на входную мощность в каждом варианте.

Пропускные способности эквивалентных дискретных каналов, в которых работает соответствующий внешний код, вычисляются для временной и частотной СККМ соответственно:

Из (12.18), (12 20) можно определить максимальную скорость передачи при нулевом показателе экспоненты случайного кодирования, которая для временной и частотной (вариант 4) СККМ соответственно равна:

Следует отметить, что максимальные скорости при «жестком» декодировании по алгоритму существенно меньше максимальных скоростей, рассмоиренных в гл. 11.

Из (12.23) и (12.24) хорошо видно, что частотная СККМ уступает временной. Это связано с наличием коэффициентов у слагаемых в выражении для скорости.