13.2. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЗАРАНЕЕ НЕИЗВЕСТНОГО, НО НЕИЗМЕННОГО ВО ВРЕМЕНИ КАНАЛА

При обсуждении оценивания параметров канала речь будет идти только об оценивании их на приеме, о вычислений коэффициентов коррекции Коэффициенты предыскажения не требующие столь высокой точности оценивания, как предполагаются заданными.

Проблеме быстрого «вхождения в связь» по каналам с МСИ посвящена обширная литература. Основные результаты приведены в обзорных статьях [114, 123]. При использовании традиционных методов борьбы с МСИ «вхождение в связь» сводится к вычислению (коэффициентов гармонического корректора

Принципиальная особенность блочных методов передачи состоит в том, что при использовании коррекции в частотной области коэффициенты коррекции простейшим образом связаны с собственными значениями матрицы циклической свертки, к которой как при линейной матричной коррекции (см. разд 9 3), так и при использовании сигналов, согласованных с каналом с МСИ (см. гл. 10—12), сводится апериодическая свертка в канале

При матричной коррекции

и при использовании ортогональных преобразований (ДПФ) и предыскажений (конструкции П-1 и )

Из (13.19) и (13.20) следует, что для вычисления коэффициентов достаточно вычислить оценки которые, в свою очередь, связаны с весовой последовательностью канала Пусть

— оценки весовой последовательности канала; погрешность оценки Тогда в соответствии с утверждением 9.12

Заметим, что все собственных значений зависят от компонентов весовой последовательности канала. Из сказанното следует возможность существенного уменьшения числа оцениваемых параметров. Сложность перехода от определяется сложностью ДПФ (13.22) и вычислений по формулам (13.19) и (13.20).

Под оцениванием параметров канала будем понимать оценивание его весовой последовательности Критерием качества оценивания будем считать неточность (определение 13.1), или среднеквадратическую погрешность (СКП), которая будет рассмотрена ниже. Целью приведенных далее рассуждений являются выбор и анализ алгоритмов оценивания при ограниченном времени измерения канала (ограниченном числе передачи зондирующего сигнала) и ограниченной средней мощности сигнала на входе канала.

Оптимальное оценивание весовой последовательности канала. Пусть на входе канала с МСИ, вход и выход которого связаны выражением

действует известный на приеме вектор зондирующего сигнала

Матрица канала

образована элементами весовой последовательности которая неизвестна. Пользуясь коммутативностью свертки, перепишем (13.23):

где неизвестный вектор;

— матрица апериодической свертки, зависящая от зондирующего сигнала.

В соответствии с результатами, полученными в разд. 9.3, можно утверждать, что среди всех несмещенных оценок оценка по методу наименьших квадратов

где псевдообратная матрица, обеспечивает минимум среднеквадратической погрешности.

Определение 13.2. Среднеквадратической погрешностью оценивания параметров канала называется

Из (9.24) и (9.25) следует, что представима в виде

где собственные значения матрицы мощность гауссовского шума.

Найдем такой зондирующий сигнал который при ограниченной средней мощности

обеспечивает минимум СКП. Поскольку такой сигнал не является единственным, то сначала найдем собственные значения матрицы доставляющие минимум СКП (13.28) при ограничении (13.30), а затем обсудим примеры сигналов, соответствующих оптимальным собственным значениям.

Утверждение 13.2. Минимум СКП оптимальной несмещенной оценки (13.27) три ограниченной средней мощности зондирующего сигнала (13.30) определяется выражением

и достигается в том случае, когда собственные значения матрицы задаются выражением

Это утверждение определяет нижнюю границу погрешности оценивания весовой последовательности канала (13.31), которая будет использована в дальнейшем для оценки других методов идентификации канала. Здесь следует отметить, что выражение (13.31) связывает со средней мощностью зондирующего сигнала и временем измерения где тактовый интервал. Длина весовой последовательности как и всюду ранее, считается заранее известной.

Методы оценивания параметров канала в частотной области. Рассмотрим методы оценивания параметров неизвестного канала, удовлетворяющие одновременно следующим условиям:

точность и скорость оценивания близки к точности и скорости оценивания с помощью описанных оптимальных сигналов; малая сложность цифровой обработки.

Последнее условие требует пояснения. В общем случае необходимы вычисление псевдообратной матрицы зависящей от конкретного сигнала и ее умножение на вектор наблюдения на выходе канала Сложность реализации этих процедур подробно обсуждается в разд. 9.3 применительно к матричной коррекции. Подобно матричной коррекции оценивание параметров канала в частотной области позволяет удовлетворить сформулированным выше требованиям [189, 194].

Рассмотрим канал с циклической сверткой

где известный на приеме зондирующий сигнал; неизвестный циркулянг вида (9.36), задаваемый весовой последовательностью которую необходимо оценить.

Выражению (13.33) в частотной области соответствует согласно утверждению 9 16

где унитарная матрица ДПФ.

Перепишем (13.34) по компонентам

Поскольку известен сигнал известны и его спектральные компоненты Это позволяет сформулировать простейший алгоритм оценивания в частотной области [196].

Алгоритм 1. Последовательность преобразований сигнала в приемнике состоит из следующих операций:

1. ДПФ (вектора наблюдения на выходе канала

2. Вычисление предварительных оценок собственных значений циркулянта:

3. Вычисление оценки весовой последовательности канала

Здесь погрешность оценки

Последние компонентов вектора обратного ДПФ (13.38) обнуляются.

4. Вычисление окончательных оценок собственных значений циркулянта

5. Вычисление коэффициентов коррекции

Если получаемая в результате этой процедуры точность оценивания недостаточна, следует или увеличить длину зондирующего сигнала или при фиксированном повторить шаги 1—3 алгоритма (т. е. раз передать по каналу и полученные оценки весовой последовательности усреднить.

Утверждение 13.3. При использовании алгоритма оценивания весовой последовательности канала определяется выражением

где - компоненты ДПФ вектора зондирующего сигнала

Сложность алгоритма 1, измеренная числом комплексных умножений на один коэффициент корректора при использовании алгоритма Кули — Тьюки для вычисления ДПФ равна

Недостатком алгоритма 1 является то, что при малых возникает «выброс» погрешности. Это видно из (13.37) и (13.39). Указанного недостатка лишен следующий алгоритм.

Алгоритм 2. Для реализации этого алгоритма необходимо выполнение условия где целое.

Утверждение 13.4 [189, 191, 194]. Пусть длина зондирующего сигнала где целое. Тогда наблюдение на выходе канала позволяет вычислить независимых оценок весовой последовательности канала

Доказательство. Предварительные оценки собственных значений матрицы канала, вычисляемые с помощью первых двух шагов алгоритма 1, имеют вид

Пусть

Разобьем оценок на групп по оценок. Имеем

Из (13.44) следует

Выражение (13.45) задает независимых оценок весовой последовательности. Это утверждение будет многократно использоваться в дальнейшем. Его смысл заключается в том, что прореживание (выделение групп, в каждую из которых входит оценок, отстоящих одна от другой на позиций) и коротких -точечных обратных ДПФ (13.45) позволяют вычислить независимых оценок Выберем в качестве окончательной оценки несмещенную оценку вида

потребовав, чтобы весовые коэффициенты удовлетворяли условиям:

Найдем оптимальные весовые коэффициенты минимизирующие СКП (13.28) при ограничениях (13.47), (13.48). Пользуясь стандартными методами решения вариационных задач [169], приходим [194] к следующему утверждению.

Утверждение 13.5. Минимальная СКП взвешенной несмещенной оценки (13.46)

Сложность взвешенного оценивания

Алгоритм 2 включает в себя следующие шаги:

1 и 2. Такие же как в алгоритме 1.

3. Предварительные оценки разбиваются на групп по оценок в соответствии с описанным выше правилом.

4. Вычисляется -точечных обратных ДПФ по формуле (13.45).

5. Вычисляется весовых коэффициентов по формуле (13.50).

6. Вычисляется взвешенная оценка по формуле (13.46).

Далее — по алгоритму 1, начиная с шага 4.

Обобщение алгоритма 2 на случай, когда зондирующий сигнал передается многократно, тривиально.

Прежде чем сравнить оба алгоритма оценивания, отметим, что они оба удовлетворяют сформулированным требованиям. Их сложность весьма мала. (Сложность алгоритма 2, пропорциональная несколько выше сложности алгоритма 1 за счет вычисления весовых коэффициентов.) Оба алгоритма не зависят от зондирующего сигнала в том смысле, что для их реализации достаточно знать лишь легко вычисляемый спектр а не псевдообратную матрицу при оптимальном оценивании.

Сравнив алгоритмы по точности, отметим, что справедливо следующее утверждение.

Утверждение 13.6 [194]. Имеет место неравенство причем лишь в том случае, если зондирующий сигнал таков, что При этом

Заметим, что при весовые коэффициенты одинаковы и равны Поскольку из (13.31) следует

Это означает, что при оптимальном зондирующем сигнале алгоритмы 1 и 2 практически не уступают оптимальному оцениванию. Особенностью методов оценивания в частотной области является то, что существует зондирующий сигнал со спектром, обладающий свойством и минимально возможным пикфактором во временной области, равным 1. Таким сигналом является сигнал линейной частотной модуляции (ЛЧМ-сигнал)

Этот сигнал эквивалентен с точки зрения точности оценивания одиночному импульсу с амплитудой

Рассмотрим теперь, насколько точность алгоритмов 1 и 2 уступает точности оптимального оценивания при использовании случайного зондирующего сигнала [194]. Пусть компоненты вектора независимы по и с вероятностью 0,5 принимают значения ±1. Результаты моделирования алгоритмов 1 и 2 приведены в табл 13 1 для случая, когда отношение сигнал-шум равно Точность моделирования ±10% с вероятностью 0,99. Для сравнения в той же таблице приведены значения которые достигаются только при использовании оптимальных зондирующих сигналов.

Из табл. 13 1 следует, что алгоритм 2 заметно превосходит алгоритм 1 и величина близка к минимально возможной Это связано с тем, что этот алгоритм эффективно подавляет «выбросы» погрешности связанные с малыми значениями . В то же время все три метода оценивания обеспечивают весьма малую погрешность при передаче всего лишь одного зондирующего сигнала, т. е. обеспечивают «вхождение в связь» после передачи одного блока известного на приеме.

Асимптотические характеристики алгоритмов оценивания 1 и 2 приведены в [194].

Таблица 13.1 (см. скан)

Имитационное моделирование показало [192, 196], что требуемая точность оценивания канала, гари которой проигрыш идеально точному приемнику не превышает долей децибела, достигается после одной двух передач зондирующего сигнала с вероятностью, практически равной 1

Описанные в этом разделе неитерационные алгоритмы идентификации неизвестного, но неизменного времени канала обладают высокой точностью при малом времени измерения, что проявляется в близости характеристик этих алгоритмов к оптимальному, имеют низкую сложность цифровой реализации, которая подробно описана в ([203, 204]. Важно отметить, что эти алгоритмы являются составной частью методов идентификации канала с переменными параметрами (разд 13 4)

Следует заметить, что существуют близкие по характеристикам итерационные методы оценивания параметров канала, в том числе основанные на фильтрации Калмана — Бьюси [191, 192,. 197].