2.2. СИГНАЛЫ РАЗМЕРНОСТИ ОДИН И ДВА

Естественно, что при одном и том же способе приема, например по максимуму правдоподобия, различные ансамбли сигналов могут обеспечивать различную помехоустойчивость. Сначала выберем ансамбль сигналов для максимизации квадрата минимального евклидова расстояния при заданной размерности и числе сигналов или же для максимизации при заданных

При одномерных сигналах задача решается достаточно просто (рис. 2.1, а). Хорошим решением является расположение сигналов через равные промежутки на прямой. Такое расположение оптимально при любом четном числе сигналов Тогда, как легко убедиться (см., например, [7]), квадрат минимального евклидова расстояния и число сигналов связаны выражением

Такой ансамбль сигналов назовем амплитудной модуляцией

Для двухмерных сигналов задача уже не столь проста, хотя при числе сигналов известно, что оптимально

Рис. 2.1 Схематическое изображение оптимальных сигналов при

гексагональное расположение точек на плоскости (рис. 2.1, б). Однако при конечном числе точек существенное влияние оказывает правило нормировки (2.9), и тогда оптимальным может оказаться и другой ансамбль сигналов. Произвольный ансамбль двухмерных сигналов назовем амплитудно-фазовой модуляцией (АФМ).

В случае поверхностно-сферических сигналов получаем традиционный ансамбль сигналов фазовой модуляции (ФМ). Как легко убедиться, при этом имеем

Сигналы ФМ показаны на рис. 2.2, а

При АФМ возможны различные расположения сигналов, некоторые из них показаны на рис. 2.2, б,в для соответственно. Более подробно возможные ансамбли АФМ сигналов рассмотрены, например, в [4]. Однако следует отметить, что реализация сигналов АФМ достаточно сложна, причем сложность существенно увеличивается с ростом Отметим, что различные сигналы АФМ рассматривались достаточно широко. Не будем перечислять все работы, лишь упомянем обзорные [4, 7]

Существенно упрощается реализация сигналов АФМ при рассмотрении тех из них, которые лежат в узлах прямоугольной двухмерной решетки. В дальнейшем такие сигналы называются

Рис. 2.2 Схематическое изображение ансамблей двухмерных сигналов ФМ (а), АФМ при при

сигналами квадратурной амплитудной модуляции (КАМ). Для обычных сигналов КАМ, ограниченных квадратом на плоскости при четном, целом, и «прореженных» через один сигналами при нечетном, легко получить с использованием (2.17) следующее выражение:

В [8] рассмотрены модифицированные ансамбли КАМ сигналов. Они получены из сигналов, ограниченных квадратом, путем перераспределения сигналов по кругу. При четном ансамбли сигналов не отличаются от прямоугольных, а при нечетном к огибающая ансамбля сигналов на плоскости образует «крест» с центральной частью, соответствующей ансамблю сигналов КАМ из точек, и четырьмя «хвостовыми» частями по точек Эти сигналы показаны на рис. 2.3, а. Как показано в [7], квадрат минимального евклидова расстояния ограничен неравенствами

Эта оценка достаточно точна. Более того, сигналы типа «крест» примерно на 31/32 более выгодны, чем сигналы типа «квадрат». Естественно, аналогичный выигрыш можно получить при нечетном Аналогичные ансамбли возможны и при к нецелом (рис. 2.3,б).

При максимальном приближении огибающей ансамбля сигналов к окружности выигрыш по квадрату минимального евклидова расстояния по сравнению с огибающей типа «квадрат» составляет при достаточно большом и с огибающей типа «крест» — При этом отмечается, что проигрыш по

Рис. 2.3 Схематическое изображение ансамблей сигналов КАМ для различного числа сигналов при целом и нецелом (б)

сравнению с гексагональной упаковкой составляет Эта разница достигается при

Как будет показано ниже, квадрат минимального евклидова расстояния лишь в первом приближении характеризует помехоустойчивость ансамбля сигналов. Более точную оценку дает полный спектр квадратов евклидовых расстояний или для простоты Обозначим число сигналов в ансамбле X, находящихся на расстоянии от сигнала (при произвольном упорядочении сигналов), где величина по значению

Будем рассматривать такие сигналы, у которых имеется типов сигналов. Сигналами одного типа будем называть такие сигналы, у которых все составляющие весового спектра одинаковы. Так, у сигналов КАМ, ограниченных квадратом, число типов сигналов вычисляется по формуле