Часть I. Передача дискретных сообщений в каналах без межсимвольной интерференции

Глава 1. МОДЕЛИ КАНАЛОВ БЕЗ МЕЖСИМВОЛЬНОЙ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ

Рассмотрим общую схему системы связи, приведенную на рис. 1.1. Эта схема соответствует передаче по каналу блоков из информационных символов, например двоичных. Каждому из блоков ставится в соответствие один из сигналов представляющих собой непрерывные функции времени с ограниченной энергией на интервале где длительность одного двоичного символа на входе кодера. Это значит, что кодер СКК осуществляет отображение множества сообщений на множество из непрерывных сигналов Основными характеристиками ансамбля сигналов являются: энергия сигналов

взаимная энергия сигналов

энергия разности между сигналами (расстояние)

коэффициент взаимной корреляции

Сигналы называются ортогональными, если

Канал осуществляет отображение множества сигналов на входе канала на множество сигналов на выходе канала по правилу

где аддитивный гауссовский шум; — сигнал на выходе канала; задержка передачи.

Рис. 1.1 Общая схема системы связи между двумя абонентами

Заметим, что отображение (1.1) является случайным. Декодер СКК ставит в соответствие сигналу оценку и выдает получателю соответствующий этой оценке блок двоичных символов. Такую модель канала будем называть каналом непрерывного времени.

Прежде чем приступить к анализу описанной модели, отметим, что основной ее отличительной особенностью является то, что передаваемый по каналу сигнал искажается только аддитивным шумом и не подвергается искажениям из-за других факторов (линейных искажений амплитудно- и фазочастотной характеристик (АЧХ и ФЧХ), нелинейных искажений, общих и селективных замираний, скачков фазы и т. п.). Тот факт, что в первой части книги в основном рассматривается именно эта простая модель, объясняется следующим:

1. Такая модель примерно адекватна важным с практической точки зрения каналам, а именно каналам, в которых частотная характеристика определяется фильтрами передатчика и приемника, а не физической среды передачи. Примерами таких каналов могут служить спутниковые каналы, стволы радиорелейных систем связи (без учета замираний), широкополосные каналы УКВ диапазона и др.

2. К описанной выше модели непрерывного канала могут быть сведены некоторые реальные каналы с линейными искажениями, нелинейностью и т. д. при условии, что в системе связи применяются некоторые технические меры для устранения указанных искажающих факторов.

Кодер СКК может быть разделен на два блока: кодер и модулятор, осуществляющие преобразования соответственно в дискретном и непрерывном времени. Декодер СКК в свою очередь разделяется на демодулятор и декодер. Это позволяет заменить

непрерывную модель (1.1) на модель канала в дискретном времени, играющую принципиально важную роль во всем дальнейшем изложении. Воспользуемся при этом стандартным приемом, подробно описанным в [1, 2]. Будем считать, что случайный процесс является стационарным аддитивным белым гауссовским шумом (АБГШ) [3].

Определение 1.1. Аддитивным белым гауссовским шумом называется случайный процесс, представимый в виде

где независимые по гауссовские случайные величины; система ортонормальных функций, интегрируемых с квадратом.

Величину входящую в определение 1.1, будем называть спектральной плотностью, или интенсивностью АБГШ. Основное свойство АБГШ, непосредственно вытекающее из его определения, состоит в следующем.

Утверждение 1.1. Две случайные величины являются независимыми гауссовскими случайными величинами с нулевым средним и дисперсией Доказательство этого свойства приведено в [3].

Представим каждый сигнал на входе канала в виде

Возможность представления (1.2) следует из процедуры ор-тогонализации Грама — Шмидта [1, 2], которая позволяет представить любые функций, интегрируемых с квадратом, в виде линейной комбинации ортонормальных базисных функций, причем в том случае, когда все сигналы линейно независимы.

Разложим принятый на выходе канала сигнала в базисе

где проекция шума на базисную функцию

В силу утверждения 1.1 шумовые компоненты в - независимые гауссовские случайные величины с нулевым средним и дисперсией Представим наблюдение на выходе канала в виде вектора

— означает транспонирование. Из (1.3) имеем

где

Из сказанного следует, что условная плотность вероятности выходного сигнала при заданном входном сигнале имеет вид

Каналы, имеющие условные плотности вероятностей вида (1.5), называются каналами без памяти.

Отметим, что наблюдение на выходе канала не приводит к потере информации, передаваемой по каналу, т. е. образует достаточную статистику [1, 2]. Это означает, что сигнал на выходе канала представим в виде

где некоторая, не зависящая от переданного сигнала, функция [1, 2].

Кодер и декодер СКК могут быть представлены в виде соответственно рис. 1.2 и 1.3.

Таким образом, описанная процедура ортогонального разложения позволяет поставить в соответствие непрерывному по времени каналу с АБГШ дискретный по времени канал, вход и выход которого связаны выражением (1.3), а переходная (условная) плотность вероятности которого определяется выражением (1.5).

Определение 1.2. Гауссовским каналом без памяти называется такой канал, вход и выход которого связаны выражением

Рис. 1.2. Эквивалентная схема кодера и модулятора (кодера СКК) для канала дискретного времени

Рис. 1.3 Эквивалентная схема демодулятора и декодера (декодера СКК) для канала дискретного времени

Рис. 1.4 Модель канала дискретного времени и для любого имеет место соотношение

Из сказанного следует, что преобразование непрерывного канала с АБГШ в ГКБП не приводит к информационным потерям. Поэтому в дальнейшем будет рассматриваться дискретный по времени ГКБП, эквивалентный широкому классу непрерывных каналов с АБГШ. Простая модель канала дискретного времени показана на рис. 1.4. В дальнейшем в части I будем рассматривать только канал дискретного времени.

Теперь сделаем одно замечание. Рассмотренный выше гауссовский канал является каналом с измерениями -мерным), т. е. образован параллельными одинаковыми гауссовскими каналами. Параллельную передачу координат по каналу можно осуществлять либо по времени, либо по частоте, либо при помощи физической среды распространения (различные не зависимые по влиянию направления передачи, различные кабели и т. д.). Говоря в следующих главах данной части о -мерных сигналах или СКК, всякий раз будем взаимно однозначно сопоставлять -мерный канал и передаваемый по нему -мерный сигнал.