2.3. СИГНАЛЫ РАЗМЕРНОСТИ БОЛЬШЕ ДВУХ

Рассмотрим теперь построение ансамблей сигналов (поверхностно- и объемно-сферических) размерности больше двух как высокоскоростных, для которых так и низкоскоростных, для которых число сигналов в ансамбле сравнимо с его размерностью . В этой терминологии исследованные в предыдущем разделе ансамбли сигналов в основном относятся к высокоскоростным.

Многомерные поверхностно-сферические сигналы. При в пространстве любой размерности оптимальными являются противоположные сигналы, для которых из (2.9) получим минимальное евклидово расстояние , а из -скорость передачи . При сигналы, как правило, отождествляются с вершинами некоторых геометрических фигур, расположенных на -мерной сфере, а центр совмещен с началом координат [4, 9]. В случае низкоскоростных сигналов оптимальными являются — ортогональные и двухсимплексные сигналы.

Ортогональные сигналы получаются, если выбирать сигнальные точки на линиях, совпадающих с ортами, на одинаковом расстоянии от начала координат Из (2.8) и (2 9) получим причем расстояние между всеми сигналами одинаковое.

Биортогональные сигналы получаются из ортогональных дополнением каждого сигнала ему противоположным. Это соответствует расположению сигнальных точек в вершинах кроссполитопа (квадрата при октаэдра при ) В этом случае

Симплексные сигналы получаются из ортогональных переносом начала координат в геометрический центр симплекса — фигуры,

вершинами которой являются точки, соответствующие ортогональным сигналам, и начало координат. При этом показано, что симплексный ансамбль обеспечивает плотнейшую укладку, если пространственный угол между сигналами удовлетворяет условию

Двухсимплексные сигналы могут быть получены из симплексных по аналогии с биортогональными дополнением каждого сигнала ему противоположным. При этом нарушается оптимальность

Для достаточно высокоскоростных сигналов сигнальные точки расположены на сравнительно малых пространственных углах друг от друга. Участок -мерной сферы с несколькими сигналами можно рассматривать как -мерный шар [10]. Тогда задача сводится к упаковке -мерного пространства, которая более подробно будет рассмотрена ниже. В основополагающей работе Шеннона [11] даны двусторонние оценки для числа сигналов на сфере единичного радиуса в евклидовом пространстве

где полуугол раскрыва конуса, равновеликого области правильного приема, в предположении, что множество сигналов оптимально (максимизирует минимальное значение для всех пар сигналов).

В [4] получена приближенная формула для числа сигналов оптимального ансамбля

где плотность заполнения пространства; объем -мерной сферы вокруг каждого сигнала; V — объем -мерного пространства (площадь поверхности -мерной сферы); гамма-функция.

Значение плотности приведено в табл. 2.1 [4] для оптимальных ансамблей сигналов

Зная величины можно подсчитать скорость передачи (2 8) и квадрат минимального евклидова

Рис. 2.4 Зависимость квадрата минимального евклидова расстояния от скорости передачи

Таблица 2.1 (см. скан)

расстояния Зависимость величины от скорости передачи показана на рис. 2.4, где цифры у кривых соответствуют размерности сигналов. Левые точки кривых соответствуют противоположным сигналам, треугольники — симплексным сигналам, а кружки — биортогональным. Показаны области как низкоскоростных сигналов так и высокоскоростных .

Известно много способов построения конкретных поверхностно-сферических ансамблей сигналов. Подробный обзор дан в [4, 10].

В случае четырехмерного пространства известны две правильные фигуры, вершины которых являются центрами наиболее плотно уложенных шаров трехмерного пространства. Первая из них — -ячеечник с числом сигнальных точек Пространственный угол между ближайшими координатами . В данном случае Этому сигналу соответствует на рис. 2.4 точка Вторая фигура — -ячеечник с числом сигнальных точек . В этом случае Данному сигналу соответствует на рис. 2.4 точка В [4].

Достаточно общий подход по построению поверхностно-сферических сигналов дает перестановочная модуляция [12, 13]. Ансамбль перестановочной модуляции при образован координатами, К из которых равны энергия сигнала), а остальные координат — нулевые. Легко убедиться, что число сигналов в ансамбле Скорость передачи для этого ансамбля а квадрат минимального евклидова расстояния При ансамбль сигналов перестановочной модуляции переходит в биортогональный ансамбль сигналов, а при переходит в полный кубичный ансамбль Ансамбль сигналов перестановочной модуляции показан на рис. 2.4 кривыми С. При

перестановочная модуляция начинает существенно проигрывать оптимальным ансамблям сигналов.

Другой достаточно широкий класс поверхностно-сферических сигналов образуют -ортогональные сигналы, представляющие собой объединение двухмерных сигналов, каждый из которых либо принадлежит ансамблю из сигналов ФМ, либо соответствует началу координат, причем лишь ровно один сигнал из принадлежит началу координат. Параметры указанных сигналов в соответствии с [4]

Сигналы показаны на рис. 2.4 кривой (естественно, кривые являются огибающими соответствующих точек). Видно, что эти сигналы еще больше проигрывают оптимальным сигналам.

Развитая в [14] алгебраическая теория кватернионов позволяет строить хорошие четырехмерные ансамбли сигналов. К ним относятся кристаллографические ансамбли сигналов, групповые циклические и некоторые другие [4, 10].

Многомерные объемно-сферические сигналы. Как и в случае двухмерных сигналов использование всего -мерного шара дает некоторый выигрыш по сравнению с использованием лишь -мерной сферы. Однако известно, что этот выигрыш существенно падает с ростом Наиболее просто строить многомерные объемносферические сигналы на основе линейных упаковок в -мерном пространстве — решеток. Ограничимся рассмотрением только двоичных решеток, которые имеют очень много общего с двоичными корректирующими кодами, включают в себя многие наилучшие (плотнейшие) решетки и определяются следующим образом [15]:

1. Элементами произвольной решетки размерности являются наборы из целых чисел, т. е. есть подмножества всех векторов длины с целочисленными элементами Будем обозначать это

2. Множество всех целочисленных векторов длины каждая координата которых делится на является двоичной решеткой Существует такое целое), начиная с которого справедливо

3. Решетка может задаваться различными путями, например своей порождающей матрицей из линейно независимых строк Например, порождающая матрица -единичная матрица а порождающая матрица матрица с элементами на главной диагонали. Таким образом, решетка это множество линейных комбинаций строк матрицы с целочисленными коэффициентами. Квадрат минимального евклидова расстояния решетки -четное).

описана последовательность решеток где Эта последовательность содержит плотнейшие решетки для Значения плотностей оптимальных решеток приведены в табл. 2.1. Выбирая часть точек пространственной решетки и проводя нормировку (2.9), можно конструировать ансамбли сигналов произвольного объема.

Пример 2.1. Рассмотрим порождающую матрицу

Эта матрица задает решетку элементы которой являются векторами длины 4 и содержат либо 0, либо 2, либо 4 целых нечетных числа. (Решетка, элементы которой содержат четное число нечетных чисел, называется Легко убедиться, что Если рассмотреть линейные комбинации строк порождающей матрицы с коэффициентами ±1, то получим ансамбль сигналов перестановочной модуляции.

Реализация оптимального приема -мерных объемно-сферических сигналов часто бывает затруднительна, поэтому во многих приложениях интерес представляют сигналы, полученные из решеток при помощи ограничения -мерным кубом, а не шаром. Минимально возможный проигрыш по сравнению с оптимальным случаем в зависимости от размерности приведен в табл. 2.2 [7].

Предельный проигрыш в плотности при составляет величину

Кроме этого, часто бывает выгодно, чтобы исходная решетка проецировалась на каждую возможную двухмерную плоскость в виде квадратной сети. При только одна возможная проекция имеет вид квадратной сети. При плотнейшая решетка проецируется на каждое двухмерное пространство в виде квадратной сети. Подробнее такие сигналы будут рассмотрены ниже в виде СКК.

Здесь лишь для примера рассмотрим четырехмерный ансамбль (ансамбль Велти) [17]. Сигнальные точки располагаются в узлах квадратной сети каждого из двух двухмерных подпространств, как показано на рис. 2.5. Точка в первом подпространстве выбирается произвольно, но точка во втором подпространстве берется из того же типа (либо черный кружок, либо белый). Если в качестве

Таблица 2.2. (см. скан)

Рис. 2.5 Ансамбли сигналов Велти четырехмерного пространства

двухмерных сигналов берутся сигналы КАМ, то ансамбль имеет следующие параметры:

а — число сигналов КАМ в ансамбле.

Возможно строить ансамбли объемно-сферических сигналов, располагая их на сферах разного радиуса. Так, в [18] рассмотрен четырехмерный ансамбль с параметрами Для сравнения он показан на рис. 2.4 точкой