648. Примеры.

1) Вычислить интеграл

распространенный на тетраедр (V), ограничиваемый плоскостями (рис. 101).

Рис. 101.

Решение. Проекцией тела на плоскость служит треугольник, образованный прямыми Ясно, что границами изменения х служат числа 0 и 1, а при постоянном в этих границах переменная у изменяется от 0 до Если же фиксированы и х, и у, то точка может перемещаться по вертикали от плоскости до плоскости таким образом пределами изменения будут 0 и

По формуле (10*) имеем

Последовательно вычисляем интегралы, начиная с внутреннего:

наконец,

2) Вычислить интеграл

где (V) есть верхняя половина эллипсоида

Решение. Проекцией тела на плоскость является эллипс Поэтому пределами изменения являются числа — а и а, при фиксированном же х переменная у изменяется от до

Тело ограничено снизу плоскостью ху, а сверху — поверхностью эллипсоида, так что при фиксированных х и у пределами изменения z служат

По той же формуле (10

Вычисление можно было бы провести и другим путем. Именно, по формуле (8*), лишь меняя в ней роли переменных х и z, будем иметь

где есть проекция на плоскость сечения эллипсоида плоскостью (проектирование происходит без искажения). Но двойной интеграл

есть не что иное, как площадь этой проекции. Так как контур проекции имеет на плоскости уравнение

т. е. представляет собою эллипс с полуосями

то, как мы уже знаем,

Следовательно,

Выкладка значительно упростилась, но лишь потому, что удалось пользовать известную нам величину площади эллипса.

3) Вычислить интеграл

где (Г) есть весь эллипсоид

Решение. Применяя второй способ, указанный при решении преды дущей задачи, получим

Отсюда

4) Вычислить интеграл

где тело (А) ограничено конической поверхностью скостью (рис. 102).

Решение, (а) Проекция конуса на плоскость есть круг По формуле (11

или, переходя к полярным координатам,

(б) При другом способе решения можно написать

где (D) есть проекция на плоскость сечения конуса плоскостью, ей параллельной и лежащей на высоте z над нею. Эта проекция есть круг радиуса так что двойной интеграл, представляющий его площадь, равен Отсюда

5) Вычислить интеграл

где (V) есть призма, ограниченная плоскостями

Рис. 102.

Указание. Воспользоваться формулой есть прямоугольник со сторонами Л и

Ответ:

6) Найти значение интеграла

где (Г) есть общая часть двух сфер (рис. 103):

Решение. Пересечение их поверхностей происходит по плоскости . Сечения тела (Г) плоскостями, параллельными плоскости суть круги.

Переходя и здесь к повторному интегралу — простому от двойного, найдем, что

7) Вычислить интеграл

где (К) есть общая часть параболоида и сферы

Рис. 103.

Решение. Прежде всего, раскрывая подинтегральное выражение, видим, что интеграль от членов по соображениям симметрии исчезают. Таким образом,

По формуле (с перестановкой ролей )

Двойные интегралы легко вычисляются с помощью перехода к полярным координатам:

Отсюда

8) Вычислить интеграл

где (Т) есть общая часть конуса и сферы

Ответ.

9) Пусть дан конус плоскостью он пересекается по эллипсу, проекция которого на плоскость имеет уравнение Рассмотрим тело (7), лежащее в первом октанте и ограниченное упомянутыми конической поверхностью и плоскостью а также двумя координатными плоскостями (рис. 104).

Рис. 104.

Предлагается вычислить распространенный на это тело интеграл

(а) Интегрируя сначала по затем по у и, наконец, по х, находим пределы изменения:

Тогда

и последовательно

(б) Выкладки немного упрощаются, если интегрировать в обратном порядке. На плоскость наше тело проектируется в виде треугольника, ограниченного прямыми Поэтому пределы изменения будут

и искомый интеграл перепишется так:

В этом случае

(10) Найти интегралы

где тело же, что и в предыдущей задаче — натуральное).

Указание. Интегрирования расположить в том же порядке, как и в Во втором случае интеграл

приводится к известному интегралу )].

Ответ,

11) Вычислить интеграл

Решение. Имеем

и, наконец, после элементарных (хоть и длинных) преобразований

12) Показать, что употребительные формулы для вычисления (а) объема цилиндрического бруса, ограниченного поверхностью

и (б) объема тела по поперечным сечениям:

суть следствия основной формулы:

Указание. Применить к последнему интегралу формулы (11) и (8).