606. Дополнительные замечания.

1°. Если сопоставить правило, по которому выбирался знак, плюс или минус, в формуле (10), с тем фактом, что этот знак необходимо совпадает со знаком якобиана, то получится интересное следствие: если якобиан сохраняет положительный знак, то положительные направления обхода контуров и соответствуют друг другу по формулам преобразования, если же якобиан имеет отрицательный знак, то положительному направлению на одном контуре соответствует отрицательное направление на другом.

Очевидно, это же имеет место и по отношению к любой паре взаимно соответствующих простых замкнутых контуров и , лежащих в областях (D) и . Полученный результат легко проверяется на примерах, приведенных в п° 604.

2°. Применяя к формуле (И) теорему о среднем [592, (9)], получим соотношение

где есть некоторая точка из области , а площадь этой области.

Сопоставим это соотношение с формулой Лагранжа

Если есть монотонная функция, то она взаимно однозначно связывает промежуток с промежутком если — убывающая функция). Обозначим длины этих промежутков через 8 и тогда формула Лагранжа приводит к равенству

сходному с равенством (12).

Если в формуле (13) «сжимать» промежуток в точку то в результате получим соотношение

так что абсолютная величина производной является как бы коэффициентом искажения (или коэффициентом растяжения) прямой в данной ее точке при преобразовании ее в прямую х.

Точно так же из формулы (12) путем «сжатия» области в точку получаем

так что абсолютная величина якобиана играет роль коэффициента искажения или коэффициента растяжения плоскости (в данной ее точке) при преобразовании ее в плоскость

Это замечание указывает на глубокую аналогию между производной и якобианом [ср. главу шестую].

3°. Формула (11) показывает, что при безграничном уменьшении площади также безгранично уменьшается и соответствующая ей площадь Отсюда уже легко установить, что преобразование областей, изученное в п° 603, обладает и следующим важным свойством: кривую с площадью нуль в области оно переводит в некоторую кривую в области (D), также имеющую площадь нуль.

4°. Формула (11) выведена в предположении взаимно однозначного соответствия между областями (D) и , а также непрерывности функций (1), (2) и их частных производных. Однако на практике обычно приходится сталкиваться со случаями, когда эти предположения нарушаются в отдельных точках или вдоль отдельных кривых.

Если упомянутые точки и кривые на обеих плоскостях могут быть заключены в произвольно малые по площади области и (8), то по выделении их формула уже становится применимой:

Пусть якобиан в области сохраняет ограниченность:

тогда интеграл в (11 разнится от интеграла в (И) на величину

Переходя в (11 к пределу при восстановим формулу (11).

Для иллюстрации вернемся к примеру 1) в п° 604 и к фигурам, изображенным на рис. 63. Непосредственно к прямоугольнику и к кругу (D) радиуса с центром в начале формулы (11), которая для этого случая принимает вид

применить нельзя. Но если выключить заштрихованные области (площади которых вместе с и стремятся к нулю), то к получающимся областям эту формулу применить можно; остается перейти к пределу.