760. Упорядочение с помощью числового параметра.
Во всех встречавшихся нам случаях применения в анализе понятия предела упорядочение множества
«пометок» для значений переменной
осуществлялось однообразно. В общем виде применявшийся способ упорядочивания может быть описан следующим образом.
Каждому элементу Р из ставится в соответствие значение t некоторого параметра, причем и многим Р может отвечать одно и то же
множество всех таких Р обозначим через
Предположим, что все
и существуют сколь угодно малые значения t, для которых
не пусто.
Условимся теперь что из двух элементов Р считается следующим то, которому отвечает меньшее значение параметра t (т. е. расположим элементы Р «по убыванию параметра»). Для двух элементов Р, которым отвечает одно и то же t, так что они входят в одно и то же множество (равно как и для соответствующих им значений
порядок не устанавливается. При этом будут соблюдены все условия I, II, III. Это очевидно по отношению к I, II; проверим выполнение III. Пусть
— любые два элемента из множества
и им отвечают значения
параметра. По предположению, найдется такое значение
меньшее, чем
для которого не пусто. Тогда любое Р из
будет следующим и за Р, и за Р.
Читатель легко проверит, что все известные ему случаи использования понятия предела подходят под эту схему. Для варианты