735. Аппроксимация функций в среднем. Экстремальные свойства отрезков ряда Фурье.

При аппроксимации функции в промежутке с помощью другой функции можно стать и на другую точку зрения, предпочитая вместо равномерной близости этих функций требовать, чтобы функции были близки лишь «в среднем». В этом случае за меру близости их можно взять их среднее отклонение

или, чего мы и будем держаться в последующем, среднее квадратичное отклонение

Вместо этого выражения, впрочем, удобнее рассматривать более простую величину:

Обратимся вновь к рассмотрению произвольной ортогональной в промежутке системы функций интегрируемых с их квадратами [679]. Пусть — заданная в том же промежутке функция, также интегрируемая с квадратом, и — фиксированное натуральное число. Поставим себе такую задачу: из всех линейных комбинаций первых функций

при произвольном наборе коэффициентов найти ту, которая осуществляет наилучшее — в смысле среднего квадратического отклонения — приближение к функции . Иными словами, требуется добиться наименьшего значения для величины

Подставив сюда вместо ее развернутое выражение, получим:

Последняя сумма исчезает ввиду ортогональности нашей системы. Вводя постоянные

и (обобщенные) коэффициенты Фурье функции

можно переписать выражение для в виде

Чтобы под знаком суммы получить полные квадраты, нужно ввести туда еще члены Добавив их с плюсами и с минусами, окончательно получим:

Теперь ясно, что достигает своего наименьшего значения тогда, когда обращается в нуль последняя сумма, а это будет при

Таким образом, из всех многочленов вида (16) именно отрезок (обобщенного) ряда Фурье

доставляет величине наименьшее возможное для нее значение

Снова наше внимание приковывается к коэффициентам Фурье как, в некотором смысле, «лучшим» из всех возможных! Важно отметить при этом, что коэффициенты, оказавшиеся «лучшими» при фиксированном сохраняют свою роль и при ббльших значениях , к ним лишь присоединяются еще новые коэффициенты!

Равенство (17) называют тождеством Бесселя. Из него получаются неравенства

и (если перейти к пределу при )

Это — неравенство Бесселя. Любопытно, что ряд в (18) оказывается всегда сходящимся, лишь бы функция была интегрируема с квадратом.

При возрастании величина убывает, поскольку в ее выражении (17) добавляются новые отрицательные слагаемые. Чем больше тем ближе сумма «в среднем» подходит к рассматриваемой функции Естественно возникает вопрос: можно ли за счет увеличения добиться сколь угодно малого среднего квадратического отклонения, т. е. стремится ли к при

Если это выполняется, то говорят, что сумма сходится к функции «в среднем» (что — подчеркнем это — вовсе не предполагает «точечной» сходимости в обычном смысле слова). Из тождества Бесселя ясно, что тогда (и только тогда), имеет место равенство [ср. (18)]:

Следуя В. А. Стеклову, мы будем называть его уравнением замкнутости. Обычно, впрочем, его называют формулой Парсеваля (М. A. Parseval), по имени ученого, который еще в начале XIX века рассматривал подобную формулу для тригонометрической системы (без какого-либо обоснования).

Если уравнение замкнутости выполняется для каждой функции интегрируемой с квадратом, то саму систему называют замкнутой.

Применим теперь все сказанное в частности к тригонометрической системе (9). Вместо сумм вида (16) придется рассматривать тригонометрические многочлены

и исследовать осуществляемое ими приближение «в среднем», которое характеризуется величиной

Оказывается, что при фиксированном наименьшее значение этой величине доставляет соответствующий отрезок ряда Фурье

Само же это наименьшее значение дается равенством

(«тождество Бесселя»). Из него вытекает, как и в общем случае, сходимость ряда, составленного из квадратов коэффициентов Фурье:

(«неравенство Бесселя»).

Для рассматриваемой конкретной системы (9) мы в состоянии полностью решить поставленный в общем случае вопрос, что и будет выполнено в следующем п°.