ГЛАВА СЕМНАДЦАТАЯ. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 1. Двусторонние поверхности

618. Сторона поверхности.

Установим сначала важное для дальнейшего изложения понятие стороны поверхности.

В ряде случаев это понятие интуитивно ясно. Если поверхность задается явным уравнением вида можно говорить о верхней стороне или о нижней стороне поверхности. Если поверхность ограничивает некоторое тело, то также легко представить себе ее две стороны — внутреннюю, обращенную к телу, и внешнюю, обращенную к окружающему тело пространству.

Исходя из этого интуитивного представления, постараемся теперь дать точное определение понятия стороны поверхности.

Рассмотрим гладкую поверхность замкнутую или ограниченную кусочно-гладким контуром. Так как на поверхности нет особых точек, то в каждой точке поверхности имеется определенная касательная плоскость, положение которой непрерывно изменяется вместе с точкой касания.

Взяв на поверхности определенную точку проведем в ней нормаль, которой припишем определенное направление — одно из двух возможных (они отличаются одно от другого знаками направляющих косинусов). Проведем по поверхности замкнутый контур, исходящий из и возвращающийся в причем предположим, что он не пересекает границы поверхности. Заставим точку М обойти этот контур и в каждом из последовательных ее положений будем приписывать нормали то из двух направлений, в которое непрерывно переходит направление, выбранное нами в начальном положении При этом может случиться одно из двух: либо после обхода контура мы вернемся в точку с тем же направлением нормали, либо же — с направлением, противоположным исходному.

Если для какой-либо точки и какого-либо проходящего через нее контура имеет место последнее обстоятельство, то и для любой другой точки легко построить замкнутый контур, который, выходя из и возвращаясь в нее же, приведет нас в эту точку с направлением нормали, противоположным исходному. Таким, например, будет контур если под разуметь какую-нибудь проходящую по поверхности кривую, соединяющую но не пересекающую границы поверхности, а под ту же кривую в обратном направлении.

В этом случае поверхность называют односторонней. Классическим примером такой поверхности является так называемый лист (рис. 82). Модель ее можно получить, если прямоугольный кусок бумаги перекрутив один раз, склеить так, чтобы точка А совпала с С, а В с Если полученное перекрученное кольцо начать красить в какой-либо цвет, то можно, не переходя через его границы, покрасить все кольцо этим цветом. Мы впредь подобные поверхности исключим из рассмотрения.

Рис. 82.

Предположим теперь, что какова бы ни была точка и каков бы ни был замкнутый контур, проходящий через и не пересекающий границы поверхности, после обхода его мы неизменно возвращаемся в исходную точку с исходным же направлением нормали. При этих условиях поверхность называется двусторонней.

Пусть же - двусторонняя поверхность. Возьмем на ней любую точку и нормали в этой точке припишем определенное направление. Взяв какую-либо другую точку поверхности, соединим произвольным путем (К), лежащим на поверхности и не пересекающим ее границы, и заставим точку М перейти из по этому пути. Если при этом непрерывно изменять направление нормали, то точка М придет в положение с вполне определенным направлением нормали, не зависящим от выбора пути (К). Действительно, если бы, приходя в точку из точки по двум различным путям мы получали в точке различные направления нормали, то замкнутый путь приводил бы нас в точку с направлением нормали, отличным от исходного, что противоречило бы определению двусторонней поверхности.

Таким образом, на двусторонней поверхности выбор направления нормали в одной точке однозначно определяет выбор направления нормали во всех точках поверхности. Совокупность всех точек поверхности с приписанными нормалями в них по указанному правилу направлениями и называется определенной стороной поверхности.