613. Теорема об абсолютной сходимости несобственного двойного интеграла.

Каждый сходящийся интеграл

необходимо и абсолютно сходится, т. е. одновременно с ним сходится и интеграл

Допустим противное. Взяв последовательность областей чтобы они, расширяясь, постепенно охватывали всю область (Р), будем иметь

Не умаляя общности, мы можем допустить, что при каждом значении выполняется неравенство

Этого можно достигнуть, разрежая (в случае надобности) последовательность , т. е. извлекая из нее частичную последовательность и наново нумеруя ее.

Обозначая через разность областей очевидно, будем иметь

Но

так что

Пусть из двух интегралов справа ббльшим будет, например, первый. Тогда

Заменяя двойной интеграл слева достаточно близкой к нему нижней суммой Дарбу, сохраним неравенство

Можно в этой сумме оставить лишь те слагаемые, которым отвечают обозначив совокупность соответствующих элементов через получим, тем более,

Обозначим через область, составленную из так как

то, складывая почленно это неравенство с предыдущим, найдем

Область , а с нею и можно деформировать так, чтобы из последней получилась связная область и притом по площади столь мало разнящаяся от что все же сохраняется неравенство

Этого легко достигнуть, соединяя оторванные части области узкими «коридорами» с произвольно малой общей площадью.

Отсюда уже ясно, что интеграл (5) сходиться не может, вопреки предположению; это противоречие и доказывает теорему.

Заметим, что принципиальная разница между одномерным и двумерным случаями связана именно с заключительной частью проведенного рассуждения. Несвязную линейную область, состоящую из отдельных промежутков, уже нельзя произвольно малой деформацией превратить в связную (т. е. в цельный промежуток).

Доказанная теорема вместе с замечаниями предыдущего п° сводит вопрос о сходимости и вычислении несобственного интеграла от произвольной функции к такому же вопросу для положительной (неотрицательной) функции. Последним вопросом мы в последующем п° преимущественно и займемся.