614. Приведение двойного интеграла к повторному.
Ограничимся сначала предположением, что функция
неотрицательна. Если эта функция задана в неограниченной области любой формы, то, полагая ее дополнительно вне этой области равной нулю, всегда можно свести дело к случаю неограниченной же прямоугольной области. Пусть, скажем, речь идет о бесконечном в одном направлении прямоугольнике
с — конечные числа, причем
. Будем предполагать, что в каждом конечном прямоугольнике
(при любом
существуют как двойной интеграл, так и простой интеграл по у — оба в собственном смысле, так что [594] имеет место формула
Желая установить подобную же формулу для бесконечного прямоугольника, т. е. для случая
предположим, что сходится повторный интеграл
Так как при любом
имеем
то по сказанному в 612 отсюда уже следует сходимость двойного интеграла
который, очевидно, не превосходит I. Остается лишь доказать, что на деле двойной интеграл равен I.
Если интеграл
представляет собой функцию от х, интегрируемую в собственном смысле, следовательно, ограниченную некоторой постоянной
то и подавно
В таком случае по теореме II п° 626
Сопоставляя это с (7) и (8), приходим к требуемому результату.
Установленный факт сохраняет силу и в том случае, если интеграл I сходится, как несобственный. Пусть, например,
является единственной особой точкой для функции
от х. Тогда по доказанному, при
,
и обе части равенства при
стремятся к I. Принимая же во внимание, что
снова заключаем о равенстве двойного и повторного интегралов по прямоугольнику
Заметим, что если бы несобственный повторный интеграл имел бесконечное значение, то, как видно из предыдущих двух соотношений, таково же было бы и значение двойного интеграла.
Итак, имеем подобно (7)
причем из существования повторного интеграла справа уже вытекает существование двойного интеграла. Равенство сохраняется даже в том случае, когда интеграл справа равен
Обратимся, наконец, к рассмотрению прямоугольника
простирающегося в бесконечность по двум взаимно перпендикулярным направлениям. И здесь будем предполагать, что в каждом конечном прямоугольнике
(при любых
существуют в собственном смысле двойной интеграл и простой интеграл по у.
Для рассматриваемого случая также может быть установлена формула