614. Приведение двойного интеграла к повторному.

Ограничимся сначала предположением, что функция неотрицательна. Если эта функция задана в неограниченной области любой формы, то, полагая ее дополнительно вне этой области равной нулю, всегда можно свести дело к случаю неограниченной же прямоугольной области. Пусть, скажем, речь идет о бесконечном в одном направлении прямоугольнике с — конечные числа, причем . Будем предполагать, что в каждом конечном прямоугольнике (при любом существуют как двойной интеграл, так и простой интеграл по у — оба в собственном смысле, так что [594] имеет место формула

Желая установить подобную же формулу для бесконечного прямоугольника, т. е. для случая предположим, что сходится повторный интеграл

Так как при любом имеем

то по сказанному в 612 отсюда уже следует сходимость двойного интеграла

который, очевидно, не превосходит I. Остается лишь доказать, что на деле двойной интеграл равен I.

Если интеграл представляет собой функцию от х, интегрируемую в собственном смысле, следовательно, ограниченную некоторой постоянной то и подавно

В таком случае по теореме II п° 626

Сопоставляя это с (7) и (8), приходим к требуемому результату.

Установленный факт сохраняет силу и в том случае, если интеграл I сходится, как несобственный. Пусть, например, является единственной особой точкой для функции от х. Тогда по доказанному, при ,

и обе части равенства при стремятся к I. Принимая же во внимание, что

снова заключаем о равенстве двойного и повторного интегралов по прямоугольнику

Заметим, что если бы несобственный повторный интеграл имел бесконечное значение, то, как видно из предыдущих двух соотношений, таково же было бы и значение двойного интеграла.

Итак, имеем подобно (7)

причем из существования повторного интеграла справа уже вытекает существование двойного интеграла. Равенство сохраняется даже в том случае, когда интеграл справа равен

Обратимся, наконец, к рассмотрению прямоугольника простирающегося в бесконечность по двум взаимно перпендикулярным направлениям. И здесь будем предполагать, что в каждом конечном прямоугольнике (при любых существуют в собственном смысле двойной интеграл и простой интеграл по у.

Для рассматриваемого случая также может быть установлена формула

в предположении, что повторный интеграл справа сходится. Это легко получается из (10) переходом к пределу при наподобие того, как выше мы (10) получили из (9). И здесь двойной интеграл оказывается равным если таково значение повторного интеграла.

Скажем теперь несколько слов относительно случая, когда функция меняет знак; ограничимся для определенности формулой (10). В конечном прямоугольнике (при мы сохраняем прежние предположения, но, наряду со сходимостью повторного интеграла от самой функции:

мы на этот раз допустим сходимость повторного интеграла и от ее абсолютной величины:

Тогда подобные же повторные интегралы будут существовать и для функций упомянутых в конце п° 612. Применяя к этим неотрицательным функциям порознь доказанную формулу (10) и вычитая результаты, убедимся в справедливости этой формулы и для данной функции