608. Примеры.

Вычислить площади фигур, ограниченных кривыми

Решение. Наличие двучлена во всех случаях наталкивает на мысль перейти к полярным координатам, полагая

и вычисляя искомую площадь по формуле

(а) Вид лемнискаты над знаком (рис. 70). Кривая симметрична относительно координатных осей (это легко усмотреть и из уравнения кривой, ибо оно не меняет вида при замене или у на —у).

Рис. 70.

Поэтому достаточно определить площадь части (D) фигуры, содержащейся в первом координатном угле, а затем учетверить ее.

Полярным уравнением лемнискаты служит

причем (если ограничиться первым координатным углом) надлежит изменять лишь от 0 до — ввиду того, что должен быть положительным. Таким образом, область на плоскости отвечающая (D), ограничена кривой

(образ лемнискаты), отрезком оси (который отвечает отрезку оси и отрезком

оси от до одной лишь начальной точки — с нарушением взаимной однозначности соответствия)

Имеем

так что вся искомая площадь есть

Полезно наперед составить себе общее представление о виде кривой. Кривая симметрична относительно оси (уравнение не меняется от замены у на —у), расположена вправо от оси у (х не может быть отрицательным); пересекает ось х при . К тому же кривая ограничена: из самого уравнения ясно, что

так что

а так как и то и . Эскиз кривой дан на рис. 71.

Рис. 71.

Полярное уравнение кривой будет: где 0 изменяется до Ввиду симметрии можно написать

(в) Кривая симметрична относительно обеих осей. Хотя начальная точка формально «принадлежит» кривой, ибо удовлетворяет уравнению, но эта точка является изолированной; действительно, при легко получаем из уравнения кривой

так что вблизи начала точек кривой нет Исключим начало из рассмотрения. Легко видеть, что кривая ограничена: при очевидно, Кривая имеет примерно вид, изображенный на рис. 72.

Полярное уравнение кривой: Учитывая симметрию, имеем

2) Показать, что формула (14) непосредственно приводит к уже известной формуле для вычисления площади сектора в полярных координатах [338]:

где под разумеется та функция от 0, которая фигурирует в полярном уравнении кривой.

Все задачи 1) можно было бы решить и непосредственно по этой формуле.

3) Найти площади фигур, ограниченных кривыми:

Рис. 72.

Рвшение. В тех случаях, когда в уравнении кривой фигурирует двучлен рекомендуется вводить «обобщенные» полярные координаты, которые с декартовыми связаны формулами

Геометрический смысл этого преобразования сводится к сжатию плоскости к координатным осям с последующим переходом к полярным координатам. Якобиан преобразования равен

(а) Кривая ограничена; симметрична относительно начала (ибо ее уравнение не изменяет вида при одновременной замене х на -х и у на —у); две симметричные петли лежат одна в первом координатном угле, а другая — в третьем начало есть единственная точка пересечения с осями.

У равнение образа нашей кривой на плоскости будет

С учетом симметрии имеем

(б) Кривая ограничена, симметрична относительно осей; начало служит лишь изолированной ее точкой. Имеем

(в) Кривая ограничена, симметрична относительно осей; начало есть единственная ее точка пересечения с осью но с осью х она пересекается еще в точках Для петли, лежащей вправо от оси у, будем иметь

(г) Кривая ограничена, симметрична относительно оси у, лежит вверх от оси х. Начало есть единственная точка пересечения с осями, так что кривая состоит из двух петель, лежащих в первом и во втором координатных углах.

Уравнение кривой в новых координатах:

Ответ.

4) Найти площадь петли кривой:

Решение. Если рассматривать лишь части кривых, содержащиеся в первом координатном угле (так что то все они оказываются ограниченными, в чем можно убедиться подобно Кривые проходят через начало, не имея других точек пересечения с осями. Отсюда ясно, что именно эти части представляют собой петли, о которых говорится в задаче.

В предыдущих примерах переход от сложного уравнения кривой в декартовых координатах к простому уравнению в криволинейных координатах строился по существу на использовании тождества Двучлен

тоже подсказывает мысль об использовании этого же тождества: положим (только для )

Якобиан преобразования будет :

(а) Уравнение петли в новых координатах

Далее,

5) Укажем теперь другой подход к выбору системы криволинейных координат, который часто оказывается полезным при определении площади криволинейного четырехугольника. Если обе пары кривых, представляющих противоположные стороны этого четырехугольника, входят в состав каждая — своего семейства кривых, заполняющих плоскость (и зависящих от одного параметра), то именно эти два семейства естественно принять за сетку координатных линий. Их параметры обычно и дают удобную для данного случая систему криволинейных координат.

Рис. 73.

Разъясним этот прием на примере. Пусть требуется найти площадь фигуры, ограниченной параболами

где

Здесь удобно рассмотреть два семейства парабол:

и

каждое из которых заполняет нашу фигуру, и из них составить сетку координатных линий. Это равносильно тому, что параметры их мы принимаем за криволинейные координаты. Все это уже нам знакомо по п° 579, 4); из написанных уравнений имеем: так что якобиан

Отсюда сразу получаем

6) Подобным же методом предлагается определить площадь четырехугольника, ограниченного

(а) гиперболами и прямыми ;

(б) гиперболами и параболами

(в) параболами и прямыми ;

(г) прямыми

При этом во всех случаях предполагается, что

(а) Решение. Сетка координатных линий:

Отсюда

и

Наконец.

(б) Указание. Положить а ; якобиан Ответ.

(в) Ответ.

(г) Ответ.

7) Найти площадь астроиды

- Решение. Параметрические уравнения астроиды:

Если заменить здесь а через то получим семейство подобных астроид, заполняющих нашу фигуру:

При постоянном t, очевидно, эти уравнения дадут пучок лучей из начала. Воспользуемся же этими формулами, как формулами преобразования; очевидно, в основе здесь лежит по существу та же идея, что и в двух предыдущих задачах. Якобиан

Окончательно,

8) Рассмотрим преобразование, которое определяется формулами

Очевидно, всегда так что точка лежит в угловом пространстве между положительным направлением оси х и биссектрисой первого координатного угла. Обратно, каждой точке из этого углового пространства отвечают вообще две пары неотрицательных значений и, о, являющиеся корнями квадратного уравнения

Можно восстановить однозначность соответствия, если условиться всегда считать , т. е. и точку брать в пределах аналогичного углового пространства на плоскости тогда

Легко вычислить якобиан преобразования

Любопытную особенность имеют здесь координатные линии. При получаем:

и аналогично при

Таким образом, мы в обоих случаях получаем одно и то же семейство парабол

ось которых совпадает с осью х, а директриса — с осью у. Каждая такая парабола касается прямой в точке .

Кажущийся парадокс разрешается просто: при и о, меняющемся от 0 до , описывается часть этой параболы от ее вершины до упомянутой точки касания, а при и, меняющемся от до , описывается остальная часть параболы, простирающаяся в бесконечность (рис. 74).

Рис. 74.

Если на плоскости взять фигуру ограниченную осью х и двумя параболами:

то на плоскости ей будет отвечать прямоугольник причем отрезкам прямых будут отвечать две дуги первой параболы, смыкающиеся в точке касания. Аналогично, фигуре (на плоскости ), ограниченной тремя параболами, а именно, кроме указанных двух еще параболой

будет отвечать на плоскости прямоугольник и снова — отрезкам прямых будут отвечать две дуги одной и той же параболы.

С помощью указанного преобразования теперь, например, легко определить площадь фигуры Имеем

Аналогично можно было бы попытаться найти и но мы встретимся в этом случае с несобственным двойным интегралом, у которого подинтегральная функция обращается в вдоль отрезка оси . О подобных интегралах — речь впереди [см. 617, 8)].

9) Для того чтобы площади фигур и (D), получаемых одна из другой с помощью преобразования (1), всегда были равны между собой, очевидно, необходимо и достаточно условие

Поставим себе задачей найти общий вид преобразований плоскости сохраняющих площадь.

При этом мы можем в предыдущем условии отбросить знак абсолютной величины и написать его в виде

ибо к этому случаю всегда можно ввести дело, обменяв в случае необходимости ролями .

Кроме того, для простоты мы будем предполагать, что одна из входящих в якобиан четырех частных производных, например отлична от нуля во всей рассматриваемой области. Тогда можно разрешить второе из уравнений (1) относительно и, подставив полученное выражение в первое уравнение (1), представить рассматриваемое преобразование в виде

Характеристикой функций и мы и займемся. Именно, мы докажем, что условие (15) равносильно такому:

Прежде всего, по правилу дифференцирования неявных функций получаем

Затем, дифференцируя как сложную функцию, находим

Отсюда и из второго равенства (18) исключаем

Наконец, вычитая почленно первое равенство (18), придем к тождеству

которое и доказывает наше утверждение.

На основании теоремы 2 п° 560 теперь мы видим, что общий вид функций и при которых преобразование (16) сохраняет площадь, дается формулами

при произвольной функции