ДОПОЛНЕНИЕ. ОБЩАЯ ТОЧКА ЗРЕНИЯ НА ПРЕДЕЛ
752. Различные виды пределов, встречающиеся в анализе.
Понятие предела пронизывает весь курс анализа, но в разных его частях принимает весьма различные формы.
Мы начали с изучения простейшего случая — предела варианты, пробегающей нумерованную последовательность значений [22, 23]; применительно к нему и была подробно развита теория пределов (глава 1). Затем понятие предела было обобщено на случай предела функции от одной или от нескольких переменных [52, 165] . Предельный процесс усложнился, но в общем сохранил свой характер.
Интегральное исчисление привело нас к рассмотрению пределов интегральных сумм Римана и Дарбу [295, 296, 301]. Здесь предельный процесс оказался связанным с дроблением на части данного промежутка и, по сравнению с ранее изученным, представил уже значительное своеобразие.
К этого типа пределам в известной мере примыкают пределы, с которыми мы столкнулись в главе X при определении понятий длины дуги (предел периметра вписанной ломаной, 330), площади плоской фигуры (предел площади входящих и выходящих прямоугольных фигур, 336) и т. п.
Наконец, в третьем томе читатель встретил еще другие предельные образования, получаемые в результате других предельных процессов, отличных от указанных выше.
Все упомянутые разновидности предела принципиально могут быть сведены к пределу в арианты. Эту мысль мы подчеркивали на протяжении всего изложения, входя поначалу в подробности [53, 166, 295], а затем ограничиваясь уже лишь упоминанием о возможности перефразировки определения предела «на языке последовательностей». Конечно, сведёние сложных предельных процессов к простому пределу варианты представляет интерес само по себе. Но для нас оно было важно еще и в том отношении, что освобождало от необходимости всякйй раз вновь устанавливать элементарные теоремы из теории пределов.
Хотя подобным путем и восстанавливается единство всех встретившихся нам видов предела, однако самая необходимость «анатомирования» для этого переменной, выделение из множества ее значений особых нумерованных последовательностей, несомненно, содержат в себе элемент искусственности. Общего определения предела переменной это все же не создает.
Цель настоящего дополнительного параграфа и состоит в том, чтобы установить общую точку зрения на предел, которая охватила бы, как частные случаи все встречающиеся в анализе различные виды предела, и на ее основе наметить контуры общей теории пределов.
Излагаемые ниже идеи впервые были высказаны С. О. Шатуновским, а затем американскими учеными Муром (Е.Н. Moore) и Смитом (Н. L. Smith). [Заметим, впрочем, что принадлежащая им постановка вопроса отнюдь не является единственно возможной.]
