758. Распространение теории пределов.

Обратимся, наконец, к распространению утверждений, доказанных в главе I для варианты, на общий случай упорядоченной переменной. Это распространение осуществить нетрудно, если шаг за шагом проследить построение теории пределов для варианты.

Всякий раз, когда там была речь о выполнении какого-либо соотношения для значений с номерами большими некоторого здесь придется говорить об его выполнении для значений с «пометками» Р, следующими за некоторым Р.

Например, докажем утверждение, аналогичное

Если упорядоченная переменная стремится к пределу а и то по крайней мере, начиная с некоторого места.

Взяв найдем такое Р, что для будет для тех же очевидно, и

Так же обобщаются и утверждения 26, 2° — 4°. Последнее, впрочем, перефразируется так: если переменная х имеет (конечный) предел а, то она является, ограниченной, по крайней мере, начиная с некоторого места

При доказательстве единственности предела приходится своеобразно воспользоваться условием. III [754].

Допустим (рассуждая от противного), что одновременно причем Если взять между а и то, с одной стороны, для , с другой же стороны, для .

Но именно в силу III найдется такая «пометка» Р, что сразу тогда одновременно что и осуществляет требуемое противоречие.

На упорядоченную переменную следующим образом распространяется определение монотонной переменной: переменная называется монотонно возрастающей (или возрастающей в широком смысле), если всегда влечет за собой

Примером такой переменной может служить монотонно возрастающая функция если ее значения упорядочены по возрастанию независимой переменной х, или частная сумма положительного двойного ряда

если считать

Так же устанавливается понятие монотонно убывающей переменной.

Во внимание к известным свойствам сумм, Дариу и если только упорядочить разбиения промежутка так, как это сделано в примере пр 764, очевидно, нижняя суима; окажется монотонно возрастающей переменной, а верхняя сумма -монотонно убывающей. Этого нельзя сказать, если взять другой способ упорядочения [764, 8)].

Теперь легко обобщить теорему п° 34 о монотонной варианте:

Монотонно возрастающая переменная всегда имеет предел. Если переменная ограничена сверху, то этот предел конечен, в противном случае он равен

Предполагая переменную ограниченной, положим так что все и, с другой стороны, каково бы ни было числе , найдется такая «пометка» что . Но тогда, лишь только будем иметь следовательно, и подавно . Таким образом, для выполняется неравенство откуда

Если переменная не ограничена, то для каждого числа найдется такое что Тогда для и подавно так что Теорема доказана.

В этой теореме, как частные случаи, содержатся теорема п° 34 о пределе монотонной варианты и теорема п° 67 о существовании предела для монотонной функции, а также теорема п° 394 о сходимости положительного двойного ряда. Проведенное здесь рассуждение, как читателю ясно, в общей форме лишь, воспроизводит те, которые были осуществлены в указанных местах для доказательстве порознь частных теорем.

Заметим, что из доказанной общей теоремы сразу вытекает и существование конечных пределов для сумм и 5 Дарбу, но лишь если стоять на точке зрения правила 9) п° 754; совпадение их с пределами, рассмотренными в 301, еще подлежало бы доказательству.

В качестве более сложного примера остановимся на доказательстве принципа сходимости [ср. 39]:

Для того чтобы упорядоченная переменная имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для каждого числа существовала такая «пометка» что неравенство

выполняется, лишь только

Перефразируя рассуждение п° 39, прежде всего установим необходимость этого условия. Если то по числу найдется такое Р, что для будет Пусть , тогда сразу так что за в этом случае можно взять Р.

Для доказательства достаточности предположим условие выполненным.

Произведем в области всех вещественных чисел сечение по следующему правилу. В класс А отнесем каждое вещественное число а, для которого — начиная с некоторого места —

В класс А отнесем все остальные вещественные числа а. Легко видеть, что это правило действительно определяет сечение. Мы остановимся лишь на доказательстве непустоты обоих классов

При произвольном найдется, по предположению, соответствующее ему такое, что лишь только тотчас же

Отсюда уже ясно, что (при есть одно из чисел а, а — одно из чисел а; последнее, собственно, опять требует использования условия III: если бы было одним из а, так что неравенство выполнялось бы, скажем, для , то, взяв (в силу III) Р так, чтобы сразу было имели бы одновременно

По теореме Дедекинда [9] существует пограничное между обоими классами число а

В частности, при

откуда и следует, что

Эта теорема находит себе интересные применения. Она не только содержит, как частные случаи, уже известные нам теоремы

39 и 58, но приводит и к новым результатам. Так, с ее помощью принцип сходимости распространяется на функции нескольких переменных, на двойные ряды и т. п. Оно дает также условие спрямляемости дуги [330]. Предоставляя читателю самому сформулировать это условие, обращаем внимание на то, что условие явно выполняется для части дуги, если выполняется для всей дуги; таким образом, сейчас можно было бы в два слова доказать утверждение, которое раньше потребовало от нас длинных рассуждений [247].