599. Примеры.

1) Пусть фигура (Р) представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную кривой отрезком оси и двумя ординатами и пусть плотность распределенных по этой фигуре масс будет 1. Определить статические моменты

Переходя в формулах (12) к повторным интегралам, будем иметь:

или, короче,

и мы возвращаемся к выражениям статических моментов, уже полученным нами раньше [351].

Предоставляем читателю повторить эти выкладки для моментов инерции

2) Цилиндрический брус (10 имеет в основании плоскую фигуру (Р), а сверху ограничен произвольной плоскостью (К). Доказать, что объем V тела равен произведению площади Р основания на длину перпендикуляра к основанию, проходящего через центр тяжести тела до пересечения с плоскостью (К).

Если оси расположены, как обычно (рис. 49), и уравнение плоскости (К) имеет вид

то по формуле (2 п° 586

3) Доказать, что если в плоскости фигуры (Р) взяты две параллельные оси на расстоянии , причем первая из них проходит через центр тяжести фигуры, то моменты инерции фигуры относительно этих осей связаны соотношением

где — масса фигуры.

Выбрав ось х за ось абсцисс, имеем

Так как, по предположению, то мы и приходим к требуемому равенству.

4) Полярным моментом инерции материальной точки называется произведение массы точки на квадрат расстояния до полюса. Легко понять, что разуметь под полярным моментом инерции плоской фигуры.

Рис. 49.

Рис. 50.

Поместив полюс в начале координат О, доказать, что полярный момент

5) Пусть в плоскости задана произвольная фугура (Р). Найти общее выражение момента инерции этой фигуры относительно любой оси составляющей с осью угол (рис. 50).

Если принять ось и перпендикулярную к ней ось за новые координатные оси, то, как известно, новые координаты и, -о будут связаны со старыми х, у зависимостями

Поэтому

Коэффициентами при являются, как мы видим, моменты инерции относительно осей координат, но кроме них здесь встречается еще величина

которую называют центробежным моментом [см. ниже, задачу 7)] или произведением инерции. Итак,

Для наглядной иллюстрации изменения момента инерции фигуры при вращении оси поступают следующим образом. На оси откладывают отрезок

(см. рис. 50) и рассматривают геометрическое место полученных таким путем точек Если координаты точки обозначить через х, у, то

Деля соотношение (17) на получим уравнение упомянутого геометрического места:

Распространяя неравенство Буняковского на случай двойных интегралов, легко видеть, что дискриминант

так что кривая (18) есть эллипс. Его называют эллипсом инерции.

Рис. 51.

Если уравнение (18) получает форму

которая показывает, что в этом случае оси координат служат осями эллипса инерции (главными осями инерции).

6) Относительно центробежного момента установить:

а) если одна из осей, например ось у, будет осью симметрии для самой фигуры (Р) и для расположенных на ней масс, то ;

(б) если начало координат является центром тяжести фигуры и через точку проведены оси параллельные прежним (рис. 51), то

Формула приобретает особенно простой вид, если именно:

7) Пусть плоская фигура (Р) (рис. 52), по которой непрерывным образом расположены массы, вращается с угловой скоростью вокруг оси у. Определим общую величину развивающейся при этом центробежной силы и ее момент М относительно оси

Для элемента центробежная сила равна

(направлена в одну сторону при и в другую при а момент ее относительно оси

Отсюда, суммируя:

Таким образом, при величина является моментом центробежной силы; отсюда и название «центробежный момент».

Для того чтобы действие центробежной силы на ось вращения было равно нулю, необходимо и достаточно выполнение равенств

Первое означает, что центр тяжести нашей фигуры лежит на оси у, а второе — что эта ось является главной осью инерции.

Рис. 52.

Рис. 53.

Итак, центробежная сила не производит никакого действия на ось вращения лишь при условии, что осью вращения служит одна из главных центральных осей инерции фигуры.

8) Рассмотрим тело, полученное от вращения плоской фигуры (Р) (рис. 53) вокруг оси у, которая ее не пересекает. Определить его объем V и положение центра тяжести С.

Решение. Возьмем сначала элементарное кольцо, описанное элементом фигуры, его объем можно принять равным объему цилиндра высоты с основанием так что

и

где — статический момент нашей фигуры относительно оси у, а - расстояние центра тяжести С фигуры от этой оси.

Рис. 54.

Рис. 55.

Таким образом, мы снова получили теорему Гульдина [351], но на этот раз для фигуры, ограниченной любым контуром.

Статический момент элементарного кольца, о котором только что была речь, относительно плоскости очевидно, равен

так что

Следовательно, координата у — центра тяжести С равна

9) Применить эту формулу к частному случаю, когда фигура (Р) является прямоугольным треугольником (рис. 54).

При обозначениях чертежа

(так как положение центра тяжести треугольника известно). Учитывая уравнение наклонной стороны треугольника:

найдем и Отсюда, в силу (20),

Как видим, эта координата отлична от координаты центра тяжести самого треугольника.

10) Показать, что если вращающаяся фигура имеет ось симметрии, параллельную оси вращения (рис. 55), то необходимо т. е. центры тяжести тела и плоской фигуры лежат на одной высоте.

Указание. Это следует из (20) и (19), если учесть, что [см. 6) (а)].

11) Показать, что при тех же предположениях момент инерции тела, полученного от вращения рассматриваемой фугуры, относительно оси вращения выразится формулой

12) Применить формулы (15) и (15 а) к следующему частному случаю: пусть основанием бруса служит прямоугольник а; сверху же брус ограничен эллиптическим параболоидом:

Ответ.

13) Найти центр тяжести цилиндрического отрезка [334, 8), рис. 56].

Рис. 56.

Рис. 57.

Решение. При обозначениях чертежа уравнение секущей плоскости будет где . Роль (Р) здесь играет полукруг радиуса а, ограниченный полуокружностью Имеем:

Так как объем

то

14) То же для части эллипсоида

содержащейся в первом октанте (рис. 57),

Решение. Область (Р) ограничена координатными осями и эллипсом

уравнение поверхности эллипсоида в явном виде будет

По формуле (15),

Аналогично

B то же время объем

так что

15) Для кругового цилиндра высоты и радиуса а найти момент инерции относительно любой плоскости, проходящей через его ось (рис. 58).

Рис. 58.

Решение. Выбрав координатные оси, как указано на чертеже, по второй из формул (16) имеем

16) Найти момент инерции для эллипсоида

Решение. Можно ограничиться одним октантом эллипсоида (рис. 57), с тем, чтобы результат умножить на 8. В таком случае областью будет квадрант эллипса

Имеем

Аналогично

и, наконец,