739. Некоторые приложения уравнения замкнутости.
Уравнение замкнутости находит многообразные приложения как в самой теории рядов Фурье, так и в других областях анализа. Мы рассмотрим в виде примера некоторые из них.
1°. Абсолютная сходимость рядов Фурье. С. Н. Бернштейну принадлежит следующая теорема: если функция 
с периодом 
удовлетворяет условию Липшица
с показателем то сходится ряд
где 
— коэффициенты Фурье функции 
Заметим прежде всего, что, если
то
690, 26)]. В таком случае
и, по уравнению замкнутости,
Если учесть теперь само условие Липшица, то интеграл слева оценится числом 
где С — постоянная. Взяв произвольное натуральное число 
положим — тогда
(здесь 
означает новую постоянную), а следовательно, и подавно
Но для очевидно,
и можно утверждать, что
В частности, если выбрать 
имеем 
Но по известному неравенству 133 (5а)
Суммируя все подобные неравенства при 
получим
ибо при 
ряд справа сходится. Теорема доказана.
Полученный результат предельно точен: примером можно показать, что при 
он уже не имеет места.
2°. Доказательство некоторых неравенств. Уравнение замкнутости применяется к доказательству ряда полезных неравенств.
Начнем с неравенств, указанных впервые В. А. Стекловым и с успехом использованных им в математической физике. Пусть функция 
непрерывна в промежутке 
и имеет в нем (за исключением разве лишь конечного числа точек) производную 
интегрируемую с квадратом. Тогда, если выполняется одно из двух условий
или
имеет место неравенство
причем равенство осуществляется в случае (а) лишь для функций вида 
, а в случае 
- для функций вида 
Начнем со случая (а). В этом случае в разложении функции 
в промежутке 
по косинусам отсутствует свободный член:
Так как при четном продолжении функции 
на промежуток 
выполняется условие 
то по правилу п° 732
Теперь согласно уравнению замкнутости, которое, как легко видеть, имеет место в промежутке 
и для ряда по косинусам и для ряда по синусам, будет
и одновременно
Отсюда непосредственно и вытекает неравенство (24), причем ясно, что равенство может иметь место, лишь если
В случае 
аналогично рассмотрим для функции 
ряд по синусам:
При нечетном продолжении функции 
на промежуток 
, именно в силу условия 
сохранится непрерывность при 
и выполнится требование 
так что снова приложимо правило п° 732:
Применение уравнения замкнутости и здесь сразу решает вопрос.
Впоследствии Виртингер (W. Wirtinger) установил несколько более общее неравенство. Предположим, что функция 
непрерывна в промежутке 
и имеет в нем (за исключением разве лишь конечного числа точек) производную 
интегрируемую с квадратом. Тогда, если выполнены условия
имеет место неравенство
причем равенство осуществляется для функций вида 
Доказательство, как и выше, сводится к применению уравнения замкнутости к рядам
и
Неравенства Стеклова получаются из (25), если, в частности, положить функцию 
четной или 
нечетной.
Ниже мы приводим пример установления более сложного неравенства. 3°. Изопериметрическая задача-, требуется среди всевозможных замкнутых плоских кривых, имеющих данную длину 
найти ту, которая ограничивает фигуру наибольшей площади.
Известно, что решением является окружность; приведем чисто аналитическое доказательство этого факта, принадлежащее Гурвицу (A. Hurwitz), причем ограничимся рассмотрением гладких кривых.
Итак, пусть замкнутая гладкая кривая 
длины 
задана параметрически, причем в роли параметра фигурирует длина дуги 
отсчитываемая от некоторой точки:
Переходя к параметру 
изменяющемуся от 0 до 
перепишем эти уравнения в виде
особо отметим выполнение условий
В силу 732, ясно, что из рядов Фурье, в которые разлагаются функции 
ряды Фурье для их производных получаются почленным дифференцированием;
Применяя здесь уравнение замкнутости, получим:
Так как
то отсюда
С другой стороны, площадь 
фигуры, ограниченной рассматриваемой кривой, по известной формуле [526 (9)] выразится так:
Воспользовавшись на этот раз обобщенным уравнением замкнутости, представим выражение для площади в виде
В таком случае, вычитая из равенства (27) равенство (29), умноженное на 
получим:
и, так как все слагаемые суммы в фигурных скобках неотрицательны, всегда будет выполняться «изопериметрическое неравенство»
то
Знак равенства имеет место — и одновременно площадь 
получает наибольшее из возможных для нее значений — лишь в том случае, если все слагаемые — нули, т. е. если
Это равносильно соотношениям
Но тогда
откуда
и наша кривая есть не что иное, как окружность! Этим и доказано экстремальное свойство круга.
Заметим, впрочем, что если воспользоваться неравенством (25), то изопериметрическое неравенство можно установить, уже не прибегая к уравнению замкнутости. Действительно, мы можем, не умаляя общности, предположить, что центр тяжести кривой лежит на оси у, т. е. что
Тогда из (26) и (28) имеем
— именно в силу неравенства (25), с учетом условия (30). При этом равенство может осуществиться, лишь если 
откуда 
