[Функцию
, обладающую этим свойством, естественно было бы назвать мажорантой для функции
Необходимость следует из того, что для функции
с ограниченным изменением роль мажоранты может играть, например, функция
монотонно возрастающая и ограниченная в силу 5°. Неравенство
вытекает из самого определения полного изменения функции.
Достаточность для случая конечного промежутка видна сразу из неравенства
а для бесконечного — получается предельным переходом.
Очень важной является другая форма критерия:
7°. Для того чтобы функция
имела в промежутке
ограниченное изменение, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в этом промежутке в виде разности двух монотонно возрастающих и ограниченных функций:
Необходимость. В силу 6°, для функции
с ограниченным изменением существует монотонно возрастающая и ограниченная мажоранта
Положим
так что (10) выполнено. Остается убедиться в монотонности функции
но при
по самому определению мажоранты.
Достаточность ясна из того, что при наличии равенства (10) функция
служит мажорантой, ибо
В виде упражнения предлагается читателю:
1) опираясь на установленные критерии, наново доказать утверждения 1° — 4° предыдущего п°;
2) для рассмотренных в п° 568 классов функций с ограниченным изменением непосредственно установить наличие монотонной мажоранты и возможность представления в виде разности монотонных функций.
По поводу теоремы 7° сделаем дополнительное замечание. Так как функции
и
обе ограничены, то путем прибавления к ним одной и той же постоянной всегда можно добиться того, чтобы они обе стали положительными. Точно так же, прибавляя к функциям
и
какую-либо возрастающую в строгом смысле, но ограниченную функцию (например,
придем к такому разложению вида (10), где обе функции будут уже строго возрастающими.
Установленная в 7° возможность сведения функций с ограниченным изменением в некотором смысле к монотонным функциям не должна создавать у читателя иллюзий относительно «простоты» поведения функций с ограниченным изменением: ведь бесконечно колеблющаяся функция t
которая была рассмотрена в п° 568, тоже допускает представление в виде разности двух монотонных функций!
Тем не менее, именно в связи с представлением (10), некоторые свойства монотонных функций переносятся и на функции с ограниченным изменением. Так, если вспомнить, что для монотонной ограниченной функции
при любом
существуют односторонние пределы, слева и справа,
[71, 1°] то, применяя это свойство к каждой из функций
, заключим, что и
8°. Для функции
с ограниченным изменением в промежутке
в любой точке
этого промежутка существуют конечные односторонние пределы (11).