§ 4. Элементы векторного анализа

664. Скаляры и векторы.

Применение интегрального исчисления к вопросам математической физики и механики часто удобнее проводить в векторной форме. Поэтому читателю полезно ознакомиться с некоторыми основными понятиями векторного анализа, которые приводят к векторной интерпретации интегральных образований и связывающих их формул интегрального исчисления.

Мы предполагаем, что читатель уже знаком с понятием скаляра или скалярной величины, которая вполне характеризуется своим численным значением (как, например, объем, масса, плотность, температура) и с понятием вектора или векторной величины, которая для полного своего определения требует еще указания на направление (перемещение, скорость, ускорение, сила и т. Говоря о векторе, мы, как обычно, будем представлять себе изображающий его направленный отрезок. Условимся обозначать векторы буквами со стрелками над ними: те же буквы без стрелок: будут означать длины векторов:

а буквы со значками, например — векторов проекции, соответственно, на оси Проекции вектора А на

координатные оси вполне его определяют и по длине (численному значению) и по направлению.

Мы считаем также, что читатель владеет и основными сведениями из векторной алгебры. Ограничимся напоминанием, что скалярным произведением векторов и называется скаляр (число)

которое через проекции на оси выражается так:

Векторное произведение векторов А и есть вектор с длиною перпендикулярный к обоим сомножителям и направленный в ту сторону, с которой вращение от А к (на угол, меньший 180°) кажется происходящим против часовой стрелки; его обозначают через Проекции векторного произведения на оси будут

если, как мы это впредь и будем предполагать, в основу положена правая система координат [620].