ГЛАВА ШЕСТНАДЦАТАЯ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 1. Определение и простейшие свойства двойного интеграла

586. Задача об объеме цилиндрического бруса.

Наподобие того, как задача о площади криволинейной трапеции привела нас к понятию простого определенного интеграла [294], аналогичная задача об объеме цилиндрического бруса приведет нас к новому понятию — двойного (определенного) интеграла.

Рис. 33.

Рассмотрим тело (V), которое сверху ограничено поверхностью

с боков — цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси z, наконец, снизу — плоской фигурой (Р) на плоскости (рис. 33). Требуется найти объем V тела

Для решения этой задачи мы прибегнем к обычному в интегральном исчислении приему, состоящему в разложении искомой величины на элементарные части, приближенному подсчету каждой части, суммированию и последующему предельному переходу. С этой целью разложим область (Р) сетью кривых на части и рассмотрим ряд цилиндрических столбиков, которые имеют своими основаниями эти частичные области и в совокупности составляют данное тело.

Для подсчета объема отдельных столбиков возьмем произвольно в каждой фигуре по точке: Если приближенно принять каждый столбик за настоящий цилиндр с высотой, равной апликате то объем отдельного столбика оказывается приближенно равным

где означает площадь фигуры . В таком случае приближенное выражение объема всего тела будет

Для повышения точности этого равенства будем уменьшать размеры площадок увеличивая их число. В пределе, при стремлении к нулю наибольшего из диаметров всех областей это равенство делается точным, так что

и поставленная задача решенз.

Предел этого вида и есть двойной интеграл от функции по области (Р); он обозначается символом

так что формула (2) для объема принимает вид

Таким образом, двойной интеграл является прямым обобщением понятия простого определенного интеграла на случай функции двух переменных. Он играет важную роль также при определении различных геометрических и физических величин.