726. Практический гармонический анализ.

Схема для двенадцати ординат. Разложение функции в ряд Фурье, или гармонический анализ, оказывается нужным во многих чисто практических вопросах машиноведения, электротехники и пр. Но в этих случаях очень редко приходится непосредственно пользоваться формулами Эйлера — Фурье:

для вычисления коэффициентов разложения. Дело в том, что функции, которые нужно подвергнуть гармоническому анализу, обыкновенно задаются таблицей своих значений или графиком. Таким образом, аналитического выражения функции в нашем распоряжении нет; иногда к самому гармоническому анализу прибегают именно для того, чтобы таким путем получить хотя бы приближенное аналитическое выражение для функции. В этих условиях для вычисления коэффициентов Фурье нужно обратиться к приближенным методам. Разумеется, на практике приходится пользоваться лишь немногими первыми членами тригонометрического разложения. Коэффициенты ряда Фурье в большинстве случаев быстро убывают, а с ними быстро падает и влияние далеких гармоник.

Обычно дается (или снимается с графика) ряд равноотстоящих ординат, т. е. ряд значений функции у, отвечающих равноотстоящим значениям аргумента х. По этим ординатам величины (22) можно приближенно вычислить, пользуясь методами, изложенными в главе IX (§ 5). Но вычисления здесь оказываются довольно громоздкими, и для того чтобы упростить и, так сказать, автоматизировать их, придумано много различных приемов, один из которых мы и изложим.

Пусть, скажем, промежуток от 0 до разделен на равных частей и пусть известны ординаты

отвечающие точкам деления

Тогда по формуле трапеций [322] имеем (конечно, лишь приближенно!):

Ввиду периодичности нашей функции , и значение можно написать и так:

Аналогично, применяя формулу трапеций к другим интегралам (22), найдем!

или

а также

Положим сначала и будем исходить из двенадцати ординат

отвечающих двенадцати равноотстоящим значениям аргумента:

или в градусах

Все множители, на которые придется умножать эти ординаты, по формулам приведения сведутся к следующим:

Именно, легко проверить, что

Например,

что совпадает с написанным выше выражением.

Для того чтобы свести выкладки (особенно — умножения) к минимуму, их производят по определенной схеме, предложенной Рунге (С. Runge).

Сначала выписывают в указываемом ниже порядке ординаты и над каждой парой подписанных одна под другой ординат производят сложение и вычитание:

Затем аналогично выписывают эти суммы и разности и снова подвергают их сложению и вычитанию:

Теперь, получив после всех этих сложений и вычитаний ряд величин , мы можем следующим образом выразить через них искомые коэффициенты:

Нетрудно убедиться, что эти формулы в точности соответствуют формулам (26).