703. Построение особенностей.
Возьмем теперь последовательность положительных чисел
для которой ряд
сходится, и две бесконечно возрастающие последовательности натуральных чисел
и построим два ряда:
и
Оба ряда абсолютно и равномерно сходятся, ибо ввиду (14) мажорируются сходящимся рядом
Следовательно [431], функции
и
заведомо будут непрерывными.
Выбор чисел
мы подчиним следующим двум требованиям:
Можно, например, положить
Ввиду 1) два различных тригонометрических многочлена
или
входящих, соответственно, в ряд (I) или (11), не содержат членов с одинаковыми кратными
Если теперь просто подряд написать все члены последовательных многочленов, входящих в (I) или (II), т. е. раскрыть все скобки, то получатся два тригонометрических ряда (один по косинусам, а второй по синусам), которые и будут рядами Фурье функций
. В самом деле, если, например, умножить обе части равенства (I) на
и проинтегрировать от 0 до
то ввиду равномерной сходимости ряда интегрирование в нем можно будет выполнить почленно. Затем, каждый интеграл
заменится конечной суммой интегралов, причем все они будут нулями, кроме того случая, когда в состав
входит
Таким путем мы и убедимся в том, что коэффициент при
будет коэффициентом Фурье.
Обратимся теперь к вопросу о сходимости этих рядов Фурье и ее характере. Если изменение х ограничить промежутком
то оба эти ряда сходятся и даже равномерно, наподобие рядов (I) и (II). Это видно из того, что любая частичная сумма, скажем ряда Фурье для функции
отличается от некоторой частичной суммы
ряда (I) на некоторую частичную сумму тригонометрического многочлена
которая в силу 702, 3°, по абсолютной величине не превосходит
и при безграничном возрастании
равномерно стремится к нулю.
Ввиду произвольности
таким образом, сходимость рядов Фурье для функции
и
обеспечена при всех значениях
При
(или
) первый ряд, однако, уже расходится, и налицо — «особенность дю Буа-Реймонда»! Действительно, если
его
частичную сумму вообще обозначить через
имеем
так что [см. 700, 2°]
что, в связи с требованием 2), свидетельствует о нарушении основного условия сходимости ряда [376].
Что же касается ряда Фурье функции
состоящего из одних синусов, то он, конечно, сходится и при
(или
). Но на этот раз в окрестности точки
сходимость не будет равномерной, и мы имеем здесь осуществление «особенности Лебега»! Чтобы убедиться в этом, обозначим вообще через
его
частичную сумму и вычислим разность
в точке
в силу 700, 2°, она оказывается большей,
чем
и растет до бесконечности вместе с
Ценою некоторого усложнения построений удается определить такую непрерывную функцию
с периодом
что ее ряд Фурье имеет точки расходимости в любой части промежутка
До сих пор, однако, не решен вопрос, может ли ряд Фурье непрерывной функции быть всюду расходящимся. Правда, пример всюду расходящегося ряда Фурье был дан с помощью тонкого построения акад. А. Н. Колмогоровым, но его пример относится уже к функциям более сложной природы и притом использует более общее, чем обычное, определение понятия интеграла (принадлежащее Лебегу).