605. Выражение площади в криволинейных координатах.

Предположим, что на плоскости задана некоторая область (D), ограниченная кусочно-гладким контуром без кратных точек. Пусть формулы (1) устанавливают взаимно однозначное соответствие между этой областью и областью на плоскости ограниченной подобным же контуром

Мы сохраним все предположения п° 603 относительно этого преобразования областей и, сверх того, еще предположим, что существуют и непрерывны в области смешанные производные второго порядка для какой-либо из функций (1), скажем:

(в силу непрерывности, они будут иметь равные значения, 190).

При этих предположениях поставим себе задачей выразить площадь рассматриваемой области на плоскости в виде двойного интеграла, распространенного на область на плоскости

Мы будем исходить из формулы, выражающей площадь (D) криволинейным интегралом, взятым по контуру области (D)

[см. 551, (10)].

План дальнейших преобразований таков: сначала мы перейдем, пользуясь параметрическими уравнениями контура, от криволинейного интеграла (7) к обыкновенному определенному интегралу. Затем преобразуем этот последний опять к криволинейному интегралу, но взятому на этот раз уже по контуру (Е) области (А). Наконец, пользуясь формулой Грина, заменим полученный криволинейный интеграл двойным интегралом по области (А).

Во исполнение этого плана нам нужны параметрические уравнения контура (5). Так как в дальнейшем мы имеем в виду перейти к контуру , то и сейчас мы предпочитаем исходить именно из уравнений этого контура. Пусть (3) дает параметрическое представление кривой ; тогда (4) даст, очевидно, такое же представление для кривой поскольку [как мы упоминали в п° 603] именно она соответствует на плоскости контуру (Е). Пределы а и изменения t мы выберем так, чтобы при переходе от а к кривая описывалась в положительном направлении.

Тогда, согласно формуле (5) п° 547,

или, если принять во внимание (4) и (5),

Сопоставим этот интеграл с криволинейным интегралом

взятым по контуру (2) в положительном направлении. Если пожелать свести последний по обычному правилу к обыкновенному определенному интегралу, то пришлось бы подставлять сюда вместо Е и к) функции из параметрических уравнений кривой (Е), и мы вернулись бы к интегралу (8).

Впрочем, нужно иметь в виду еще одно обстоятельство. При изменении t от а до описывается в положительном направлении контур (5) — так мы выбрали эти пределы. Но контур при этом может описываться как в положительном, так и в отрицательном направлении; таким образом, интегралы (8) и (9) могут на деле разниться знаками. Во всяком случае,

причем (подчеркнем это еще раз) знак плюс имеет место, если положительному обходу контура отвечает положительный же обход контура (Е), и знак минус — в противном случае.

Остается, наконец, преобразовать полученный криволинейный интеграл в двойной. Для этого надлежит воспользоваться формулой Грина

где полагаем

Так как

а смешанные производные второго порядка от у равны между собой, то

в мы приходим к формуле

Мы видели в п° 603, что при сделанных предположениях якобиан

сохраняет в области определенный знак. Этот же знак имеет и интеграл. Но перед ним еще стоит двойной знак так как в результате должно получиться существенно положительное число то ясно, что знак перед интегралом совпадает со знаком якобиана. Если ввести этот знак в подинтегральную функцию, то там получится, очевидно, абсолютная величина якобиана, так что окончательное выражение для площади будет

Это и есть та формула, которую мы желали установить. Подинтегральное выражение

обычно называют элементом площади в криволинейных координатах. Мы видели, например, что в случае перехода к полярным координатам якобиан равен следовательно, элемент площади в полярных координатах есть