753. Упорядоченные множества (в собственном смысле).

Изученные выше образцы переменных, имеющих пределы, подсказывают мысль, что для того чтобы вообще имело смысл говорить о пределе переменной, ее область изменения не может оставаться «аморфной» и должна быть определенным образом направлена или упорядочена. В связи с этим мы установим сначала в общей форме основные понятия, относящиеся к упорядоченным множествам.

Пусть имеем множество состоящее из элементов Р какой угодно природы. Если для определенной пары различных элементов Р, Р согласились считать, что один из них (например, Р) следует за другим (Р), то обозначают это так: Р Р, и говорят, что для пары Р, Р установлен порядок. Правило, устанавливающее порядок для всевозможных пар различных элементов или только для некоторых из этих пар, во всяком случае должно подчиняться следующим двум требованиям:

I) если то не может быть одновременно

II) если то необходимо (т. е. отношение «следует» обладает транзитивным свойством).

Если по некоторому правилу для всех пар различных элементов, взятых из установлен порядок с соблюдением требований I, II, то множество называется упорядоченным (или, точнее, упорядоченным в собственном смысле, в отличие от упорядоченных в обобщенном смысле множеств, которые будут рассмотрены в следующем п°).

Вот примеры упорядоченных множеств:

1) Любое множество вещественных чисел естественным образом упорядочивается, если расположить эти числа в порядке возрастания когда или убывания когда

Тот же пример в геометрической форме может быть представлен так: любое множество точек на горизонтальной прямой упорядочивается, если из двух точек следующей считать ту, которая лежит правее (или — левее).

2) Рассмотрим теперь какое-нибудь множество состоящее из некоторых точек двумерного (арифметического) пространства. Это множество можно упорядочить, скажем, следующим образом:

Во всех этих случаях легко проверить соблюдение требований I и II.

Для облегчения использования введенного понятия при рассмотрении предела переменной, мы будем дополнительно предполагать, что в рассматриваемом множестве нет «последнего» элемента (который следовал бы за всеми остальными). Таким образом, какой бы элемент Р из ни взять, всегда найдется элемент следующий за .