602. Примеры и дополнения.
1) Проверить формулу Грина на функциях
в круге радиуса 1 с центром в начале координат.
Указание. В обоих случаях
так что двойной интеграл обращается в нуль. Криволинейный же интеграл, взятый по окружности
лишь в случае
равен нулю, а в случае (а) равен
.
Дело в том, что формула Грина выведена в предположении непрерывности рассматриваемых функций и их производных, а здесь — в обоих случаях — это условие в начале координат нарушается. В случае (а) формула Грина оказалась на деле неприложимой; любопытно, что в случае
несмотря на указанное обстоятельство, она все же верна [ср. 565, 13)].
2) Преобразовать формулу Грина к виду
либо
(где
означает направление внешней нормали).
Указание. Заменить Р на
на
использовать формулу
для преобразования криволинейного интеграла второго типа в криволинейный интеграл первого типа. Обратить внимание на направление нормали
3) С помощью формулы Грина доказать формулы:
если положить
Указание, (б) получается из
если положить там
(а) есть частный случай
при
переменив в (б) роли
и вычитая результат из (б), получим (в).
4) Функция
непрерывная вместе со своими производными и удовлетворяющая в рассматриваемой области
уравнению
называется гармонической в этой области.
В предположении, что функция и в области
имеет непрерывные про изводные
доказать следующее утверждение: для того чтобы функция
была гармонической, необходимо и достаточно, чтобы, каков бы ни был простой замкнутый контур
выполнялось условие
Указание. Воспользоваться формулой 3) (а).
5) Если функция
— гармоническая в замкнутой области (D), то ее значения внутри области однозначно определяются ее значениями на контуре
Иными словами, если две гармонические в области (D) функции
имеют на контуре
области одни и те же значения, то они тождественны во всей области.
Вводя в рассмотрение разность
сведем вопрос к доказательству того, что гармоническая в области (D) функция, обращающаяся в нуль на контуре
области, тождественно равна нулю во всей области.
Положим в формуле
Учитывая наложенные на и условия, получим
Отсюда следует, что во всей области (D)
значит, и сводится к постоянной и, обращаясь в 0 на
равна 0 повсюду, что и требовалось доказать.
6) Пусть и есть гармоническая функция в области
— какая-либо внутренняя точка этой области и
-окружность радиуса
с центром в точке
Тогда имеет место важная формула:
так что значение гармонической функции в центре равно переднему» ее значению на окружности. Докажем это.
Положим
где
нетрудно проверить, что
является гармонической функцией в области, полученной из плоскости исключением точки
. В этой же точке функция обращается в бесконечность.
Окружив точку
окружностью радиуса
применим к области (D), содержащейся между окружностями
формулу
контур
составляется из
вместе. Так как в этой области обе функции и,
— гармонические, то слева имеем нуль. Справа уничтожается интеграл
ибо, например, на окружности
, а [ввиду 4)]
С другой стороны имеем
и
так что окончательно получаем:
При достаточно малом
функция и на окружности
сколь угодно мало отличается от значения
в центре, так что при
левая часть имеет предел
Переходя к пределу, установим требуемое равенство.
7) Из результата, доказанного в 6), вытекает интересное следствие: если функция
непрерывна в замкнутой области (D), ограниченной контуром
и является гармонической внутри этой области, то своего наибольшего (наименьшего) значения функция не может достигать внутри области, за исключением случая, когда она сводится к постоянной.
Действительно, если бы упомянутая функция и
не сводясь к постоянной, достигала, скажем, наибольшего своего значения во внутренней точке
то легко бы было бы придти к противоречию с формулой (7).
Теперь мы может усилить и результат в 5), предположив, что функция и непрерывна в замкнутой области (D) и гармонична лишь внутри области. И здесь достаточно установить, что функция и тождественно равна 0, если обращается в нуль на контуре. А это вытекает из того соображения, что в противном случае она достигла бы своего наибольшего или наименьшего значения внутри области вопреки сделанному выше замечанию.