582. Теорема о среднем, оценки.

1°. Пусть в промежутке функция ограничена:

a g(x) монотонно возрастает. Если существует интеграл Стилтьеса 1 от по то имеет место формула

Это и есть теорема о среднем для интегралов Стилтьеса.

Для доказательства будем исходить из очевидных неравенств для стилтьесовой суммы а:

Переходя к пределу, получим

или

Обозначая написанное отношение через придем к (22).

Если функция в промежутке непрерывна, то обычным путем убеждаемся в том, что есть значение функции в некоторой точке этого промежутка, и формула (22) приобретает вид

2°. В практике интегралов Стилтьеса наиболее важным является случай, когда функция непрерывна, а функция имеет ограниченное изменение. Для этого случая справедлива такая оценка интеграла Стилтьеса:

где

Действительно, для суммы Стилтьеса а будет

так что остается лишь перейти к пределу, чтобы получить требуемое неравенство.

3°. Отсюда вытекает, в частности, и оценка близости суммы о к самому интегралу Стилтьеса I (при прежних предположениях относительно функций и Представив о и в виде

и почленно вычитая эти равенства, получим

Если, как обычно, обозначить через колебание функции в промежутке так что

то, применяя оценку (25) к каждому интегралу в отдельности, будем иметь

Если промежуток раздроблен на столь мелкие части, что все где — произвольное наперед взятое число, то заключаем, что

Эти оценки будут нами использованы в следующем п°.