582. Теорема о среднем, оценки.
1°. Пусть в промежутке
функция
ограничена:
a g(x) монотонно возрастает. Если существует интеграл Стилтьеса 1 от
по
то имеет место формула
Это и есть теорема о среднем для интегралов Стилтьеса.
Для доказательства будем исходить из очевидных неравенств для стилтьесовой суммы а:
Переходя к пределу, получим
или
Обозначая написанное отношение через придем к (22).
Если функция
в промежутке
непрерывна, то обычным путем убеждаемся в том, что
есть значение функции в некоторой точке этого промежутка, и формула (22) приобретает вид
2°. В практике интегралов Стилтьеса наиболее важным является случай, когда функция
непрерывна, а функция
имеет ограниченное изменение. Для этого случая справедлива такая оценка интеграла Стилтьеса:
где
Действительно, для суммы Стилтьеса а будет
так что остается лишь перейти к пределу, чтобы получить требуемое неравенство.
3°. Отсюда вытекает, в частности, и оценка близости суммы о к самому интегралу Стилтьеса I (при прежних предположениях относительно функций
и
Представив о и
в виде
и почленно вычитая эти равенства, получим
Если, как обычно, обозначить через
колебание функции
в промежутке
так что
то, применяя оценку (25) к каждому интегралу в отдельности, будем иметь
Если промежуток
раздроблен на столь мелкие части, что все
где
— произвольное наперед взятое число, то заключаем, что
Эти оценки будут нами использованы в следующем п°.